20 Prof. Guido Fnbini [Memoria IV.] 



gruppo discontinuo non possono esistere trasformazioni ellittico- 

 iperboliche, di cui sia intlnitesinia la parte iperbolica (ossia che 

 le due radici reali distinte siano intìnitauiente poco differenti 

 dall' unità). 



Da tutto ijuesto si deduce che dato un grupix) discontinuo 

 nessuna trasformazione /S del grupjx) può portare un punto ^1 

 in un. punto ^-l' intìnitainente vicino, eccettuato il caso che S 

 sia ellittica e A sia un punto vicino infinitamente allo spazio 

 assiale di *S', ossia a quello spazio lineare lasciato fìsso da /S\ le 

 cui equazioni si ottengono uguagliando a zero le variabili corri- 

 spondenti alle radici complesse dell'equazione caratteristica di S. 



Se dunque un gruppo discontinuo non fosse propriamente 

 discontinuo p. es. nella regione B interna alla quadrica (>=0, 

 vorrebbe dire che nelF intorno di ogni punto di E passerebbero 

 spazii assiali di trasformazioni ellittiche del gruppo. In una re- 

 gione B' di Ji' a distanza finita dalla quadrica Q^O, questi 

 spazii formerebbero un insieme ovunque condensato. 



Siccome il numero delle dimensioni di uno di questi spazii 

 non ])uò presentare che un numero finito di casi (dovendo es- 

 sere minore di n — 1) esisterebbe almeno un pezzo B" di B, in 

 cui gli spazii assiali a Z' dimensioni (dove Ji è un numero mi- 

 nore di n — 1) delle trasformazioni " \~ ellittiche del nostro 

 gruppo formano un insieme ovunque condensato. 



Per noti teoremi della teoria degli insiemi esisteranno i)er- 

 ciò du(» di tali /S\ vicini a piacere ; siano », v le trasformazioni 

 ellittiche corrispondenti ; r~^ trv e ti sarebbero trasformazioni 

 ellittiche distinte con gli spazii assiali infinitamente vicini e 

 con le stesse radici dell' equazione cai'atteristica, (juindi v^^iirn^^ 

 sarebbe infinitesima. Dunque : 



Un f/riippo di proiettvcità reali traisformantf (J in se .stesso, 

 se è discontiniio, è propriamente discontinuo. 



Le stesse dimostrazioni usate finora ci dimostrano che se 

 Q è una forma definita, non esistono che proiettività ellittiche 

 e elle affinchè una di esse sia contenuta in un gruppo disc<»n- 



