Prof. Guido Fubini [Memoria IV.] 



StucliaiiK) dunque il caso che la metrica sia iperbolica e 

 precisamente esaminiamo il comi)ortamento del grupi)o sulla qua- 

 drica Q = 0. Ciò ha uno sjieciale interesse, perchè se noi im- 

 maginiamo rappresentato conformemente il nostro spazio su un 

 semispazio euclideo, la Q = viene rappresentata sulT iperpia- 

 no limite e il nostro grupjx) diventa su un tale iperpiano un 

 gruppo conforme : lo studio nostro coincide con lo studio dei 

 gruppi conformi. Si può dimostrare quasi come per ;; = 4 che : 



// grxppo è wqtropriamenfe discont'unio o hu iuita in varietà 

 Q =r a « n — 2 » dimeimoni ojrpnre ■soltanto *» varietà Y -s?^- 

 bordinate a non ^j/» che « n — 3 » dimensioni. Xeì secondo caso 

 queste varietà Y dividono la quadrica Q in una, o in due, o in 

 infinite iwrzioni su cui iJ gruppo è propriamente discontinuo. Que- 

 sto secondo caso, che è F unico che dia origine a (jruppi conformi 

 propriamente discontinui è cnratterizxato dal fatto clic un poliedro 

 yeneratore del gruppo o ha qualche faccia su Q = « ha qualche 

 porzione esterna alla quadrica Q ::^ 0. 



La rappresentazione del nostro spazio su un semispazio 

 euclideo è però utile anche nel caso che sulF iperpiano limite 

 (su Q = 0) il gruppo operi in modo impropriamente discontinuo 

 per iTua migliore visione delle pi'oprietà del gruppo ; in tal caso 

 ancora il campo fondamentale si può limitare con sfere e piani 

 normali al piano limite. E, quando è possibile, è utile anche 

 qui 1' ampliamento del gru})po aggiungendo al gruppo una in- 

 versione per raggi vettori reciproci. 



Veniamo ora alle applicazioni aritmetiche. Sia Q ^^ una 

 forma del tipo iperbolico a coefficienti intieri. 



Si cerchino tutte le proiettività a coefficienti interi che la 

 trasformano in se. Esse formano evidentemente un gruppo non 

 contenente alcuna trasformazione infinitesima e perciò certamente 

 propriamente discontinuo per i nostri teoremi. Si potrà per esso 

 costruire un poliedro fondamentale corrispondente o col metodo 

 testé svolto oppure col metodo cui ora noi accenneremo. Con- 

 sideriamo cioè oltre alle proiettività di [)rima specie trasformanti 



