Sulla teoria delle forme quadratiche Hermitiane ecc. 25 



ogni soluzione del sistema (A) è individuata una rifiossione di F. 

 Date due tali riflessioni U, 1' se ne può trovare una terza 

 ^'~^ r r e (juìiuIì inlinlte altre; anzi basta trovare le riflessioni 

 A' corrisiìondcnti alle faccie di un poliedro fondamentale di T 

 per potere trovare tutto il aruppo F che è da esso individuato 

 e quindi tutte le altre soluzioni di (^1). La teoria di (A) resta 

 così simile alla teoria dell' e(|uazione di Peli, per cui dalla so- 

 luzione mìnima si passa a tutte le altre soluzi<mi. La teoria arit- 

 metica •■ la teorìa dei gruppi si prestano così un vicendevole 

 ai)poiij;ìo. 



Ora è ben chiaro che date due fonile (juadratiche del tipo 

 iperbolico, il })roblema di riconoscerne l' equivalenza e dì trovare 

 in caso affermativo tutte le trasformazioni che portano V una 

 neir altra è risoluto bentosto, appena si sappia per ciascuna de- 

 terminato il poliedro fondamentale del gruppo aritmetico ripro- 

 duttore. Infatti costruito iti modo analof/o per ambedue un polie- 

 dro fondamentale, le due forme saranno equÌA'alenti (o almeno 

 una sarà e(|uivalen1c a una forma simile ali" nitida) allora e al- 

 loi'a soltanto che esisterà una ]n'oiettività J' a coefficienti iutieri 

 che porta l' un neU' altro i due poliedri fondanu'utali e le cor- 

 rispondenti trasformazioni lieneratrici del ,s>rup]to ; V esistenza dì 

 una tale proiettivìtà si può riconoscere ((juaiulo ci fosse) con 

 mezzi assolutamente elementari. 



8e essa esiste, il prodotto di essa per le trasformazioni del 

 gruppo riproduttore di una delle forme (che è subito noto ap- 

 pena dato il corrispondente poliedro) ci dà tutte le tra.sforma- 

 zioui che portano una forma nell' altra. 



I nostri metodi ci hanno così poi'tato a un mezzo generale 

 per studiare 1' e(|uivalenza delle nostre forme aritmetiche : e qui 

 sì schiudere1)bc un anijìlo campo a ricerche ])artic(>lari. Xoì vo- 

 gliamo dare un esempio di trattazione , costruendo il poliedro 

 fondamentale del gruppo T relativo alla forma : 



(J =: .rf -\- .j-ij -}- a^ — d\ j?. 

 Ani Acc. Serie 4', Vol. XVII - Mem. IV. 4 



