Sulla teoria {Ielle forme quadratiche Uermitiane ecc. 29 



(li una forma (inadratica ; noi vogliamo ora considerare altre me- 

 triche, che ci saranno pure di urande iin[)ortanza. 



Sia un spazio iS', a v i= «j ~{- /y^ + ... + «« dimensioni, dove 

 «1, Hì,—i «„, sono m numeri (wi > 2) interi non minori di 2. E ne 

 siano xf xf .... x^i} (/ = 1, 2,...., m) le coordinate di un jtunto 



generico. (Consideriamo ora m spazii Gf' 6r|"'^ a it^ , ;(, , .... «„, 



dimensioni; e siano x'^ ... .rj'' le coordinate in 8':^, . A ogni i)un- 

 to di 8 corrisimnderà un punto in ciascuno degli spazii S'-^ ; e 

 viceversa, preso un punto in ciascuno degli spazii yiS''\ ne risul- 

 terà detìnito un punto di S., . In ciascuna degli spazii 8^^ (che 

 diremo spazii parziali) definiamo una metrica euclidea oppure 

 ellittica (di Riemann) o]»])ure iperbolica (di Lobacevskij) in modo 

 però clic non in più che uno di essi viga una metrica euclidea. 

 Avrà così un significato ben [)reciso la parola: « distanza di due 

 ]»unti » in uno di ((uesti spazii parziali. Siano ora A, B due 

 ])unti di A' e siano ^-l'* , />"''* i corrispondenti in <S'*'^ , di cui in- 

 dicheremo con ^I''' ii('" la distanza. Xoi per definizione assume- 

 remo come distanza A B dei punti A, B la quantità definita 

 da : 



AÌf = S (A'" £"■• )- 

 1=1 



Chiameremo movimenti dello spazio 8 quelle trastormazioni 

 biunivoche di 8 in se stesso, che conservano le distanze di due 

 ])unti quale si vogliano. È ben chiaro che data una trasforma- 

 zione di ciascun 8^'^ in se stesso ne viene definita una trasfor- 

 mazione di S in sé. È pure chiaro che se noi in ciascun /S'''' 

 prendiamo una trasformazione biunivoca che sia i)er lo 8'^^ cor- 

 rispondente un ]»uro movimento , ne sarà definito in 8 un mo- 

 vimento ; il teorema reciproco non è però vero ; perchè se p. es. 

 due degli 8^^ p. es. /6"^', xS''^' sono a un ugual numero di dimen- 

 sioni (ossia «1 = «2) e vige in essi una stessa metrica lo scam- 

 biare le .rf' con le xf^ corrisponde a un movimento in {8). Però 

 noi possiamo dimostrare il seguente teorenui : Se noi in 8 con- 



