30 Prof. Guido Fìibini [Memoria IV.] 



sideriamo soltanto (iiiei movimenti che formano nn gruppo con- 

 tinuo generabile da trasformazioni intìnitesime, allora essi si pos- 

 sono tutti generare mediante trasformazioni di ciascun A'*'' in se 

 stesso, che per lo /S'-''' corrispondente sono puri movimenti. 



Questo teorema che rienti'a per così dire nella teoria diffe- 

 renziale dei nostri spazii sarà da noi dimostrato piìi tardi; e noi 

 ce ne serviremo per detinire come movimenti di -iS' soltanto ap- 

 punto quelli che si jjossono generare come abbiamo testé detto. 



Così pure dimostreremo più tardi che il nostro spazio S 

 ammette per elemento lineare una forma differenziale quadra- 

 tica, che le geodetiche di /S hanno per corrispondenti su iS^'^ aj)- 

 punto le geodetiche di S^"^ ecc. 



Per proseguire più spicci , noi lascieremo ora queste pro- 

 prietà secondarie e, basandoci sul signitìcato più ristretto dato 

 da noi alla parola « movimeiiti » dimostreremo che anche per 

 i nostri spazii vale il teorema : 



Un grniìpo G discontinuo di movimenti (ossia senza trasfor- 

 mazioni infinitesime ) è pro^mamente discontinuo ossia ammette un 

 cam2)o fondamentale. 



Infatti ogni movimento 31 di (i è per V ipotesi fatta ])rodotto 

 di m movimenti, JÌP^\ 3P^\..., il/^™' in ciascuno degli S^% S'-^K... ò'™^ 

 parziali. Se G non fosse propriamente discontinuo, ogni punto 

 A di jS sarchile intìnitamente vicino a coppie di punti equiva- 

 lenti. Un tal punto A determina m punti A% J.^'^' ,.... A^"" ne- 

 gli m spazii parziali. Se nell'intorno di A esistono punti equi- 

 valenti ciò per i teoremi già svolti significa che un certo nu- 

 mero dei punti A^''^ , p. es. A'-'^'' A^'^'> ,.... , A''"' sono intìnitamente 

 vicini agli spazii assiali -v^^' , s^^\ .... , s'-"^ di k movimenti ellittici 

 jf (1) ^ j/(2) ^ j^fik) ,^g^ singoli si)azii parziali corrispondenti a 

 uno stesso movimento 31 di G , mentre i residui movimenti 

 j/(*-f-i) ^ j/(m) corrispondenti a 31 sono intìnitesimi. Di più è 

 A- > 0, perchè nessun movimento ilf di Gè infinitesimo. E per 

 r ipotesi fatta per ogni ])unto J. di (S si deve presentare uno di 

 questi casi. Osserviamo però che i casi distinti possibili sono in 



