32 Vrof. Guido Fubini [Memoria IV.] 



Supponiamo p. es. che tutti gli spazii /S*'^ (/ =: 1, 2 in) 



siano a curvatui-a costante positiva (negli altri casi si usercb- 

 l)ero procedimenti analoghi) e in ciascuno di essi usiamo coor- 

 dinate di Weiertrass 4» x'i^.... .v[f^ xf^ + i legate dalla a^P + .... 

 _|_ ;r''^+i = 1. Se con //'" e ;r<'^ indichiamo le coordinate dei punti 

 corrispondenti A, A' avrenu) come equazione della nostra super- 

 ficie la 



ni r 1 - "' r ■ "1 



S [arcos ( ^i" y["-\- . . . . + a-'+j ?/;;;+i)J = S [arcos ( .r'," y\"^ ... 4- .r';;^, y';^^_^,)\ 



Questo risultato è importante quando eftettiyamente si vo- 

 glia costruire il poliedro fondamentale di un dato gruppo e fa 

 vedere 1' importanza dell' introduzione delle nostre metriche. 



Passiamo alle applicazioni aritmetiche dei nostri gruppi. 



Sia data p. es. una forma (juadratica del solito tipo Q a 

 coefiìcienti interi di un qualsiasi campo algebrico reale (insieme 

 ai coniugati) , su certe variabili .«f > .ìf r^P. Se noi conside- 

 riamo tutte le trasformazioni lineari Tj a coetficienti interi dello 

 stesso campo che trasformano ft in sé, tra esse ve ne potranno 

 chiaramente essere delle infinitesime. Consideriamo allora insie- 

 me a (>i tutte le forme coniugate Q.2 , Qs su nuove variabili 



af ) , x'^f (/ = 1, 2, , h) e insieme a ogni trasformazione 2\ 



le coniugate 2\ , T^ che trasformeranno in sé le forme Qa > 



Qs .... È ben chiaro per note proprietà dei campi algebrici che 



non è possibile che 1\, T^ , 1\ siano contemporaneamente 



infinitesime. 



Ossia, detta T la trasformazione prodotto delle corrisi)on- 



denti trasformazioni 1\ , 1\ , nessuna trasformazione T sarà 



infinitesima (*). Da questo esempio, che non è altro che l'esem- 

 pio, fondamentale della teoria dei gruppi riproduttori una forma 

 quadratica a coefiìcienti interi in un campo algelirico generale 



(*) Cfr. Blumenthal Mathem. Auualeu (1903) dove si trova uu particolare esempio <U 

 trasformazioni analoghe alle T, da uu punto di vista però completamente diverso. 



