34 Prof. Guido Fubini [Mkmokia IV.) 



trici di A' (lekn'iiiiiiatc pnn^ dal poliedro corriìspondente. Tutte 

 le altre trastoriiia/ioui che portano le (>; nidle /', si otterranno 

 moltiplicando 7' per le ojìerazioni del gruppo A. 



TrahiHciando altre facili considerazioni sui gruiìpi Hn (jui 

 studiati , ciiuncicrò ancora soltanto che i nostri gruppi hanno 

 iui])ortanti applicazioni funzionali ; a (|ueste specialmente inte- 

 ressanti i)er la te(»ria delle funzioni automorfe a più variabili, 

 dedicherò una prossima nota. 



(hserrozioKr. — Dimostrerò sommariamente i teoremi enun- 

 ciati senza dimostrazione nelle ])recedenti jtagine del presente 

 lavoro a proposito dcdla teoria ditferenziale dei nostri s])azi AV 



Una linea /di iS-j è detinita dando le linee /j, /g /,„ corri- 



s})ondenti sui varii spazii parziali. Sia data una linea (|ualsiasi 

 congiungente due ])unti A, I> ; e siano (ì.s-^. <ì.s., </.v„ gli ele- 

 menti di ardii delle linee corrispondenti sugli sitazii parziali. 



La lunghezza della linea data sarà per detinizione 



'A 



V (Ui -\- <U -L . . . . + ds]-, 



Essa sarà evidentcMnente minima s(^ le lince /^ , A, /„ so- 

 no geodetiche. Perciò una geodetica generale del nostro spazio 

 >S'v ha per col-rispondenti delle geodetiche sugli spazii ])arziali. 

 E di più la distanza di due punti -1, B da noi detinita coin- 

 cide evidentemente con la distanza dell' arco geodetico che li 

 congiunge. Ciò che si i><)trebbe anche verificare facilmente stu- 

 diando r elemento lineare <ìx- dei nostri spazii. Se le ìt''^ sono 

 coordinate Kiemanniane nel corris[)ondente spazio ^^'\ si ha nel 

 caso che nessuno degli spazii parziali sia euclideo e si prescinda 

 da ditfertniza tra n^ale e immaginario (ossia si suppongano ]). es. 

 tutti gli s])azii a curvatura negativa) 



,„ dJ^ + d^-^....-]-daf^; 



dr = S j^, • (1) 



'-1 ,<' 



