Applicazioni analitiche dei gruppi di proiettività ecc. 3 



col centro nell' origine : in una parola le ipersfere di U col cen- 

 tro nell' origine sono anche ipersfere per li. 



Troviamo ora che i-elazione passa tra il raggio p di queste 

 ipersfere nella metrica (euclidea) di K e il raggio >■, che cor- 

 risponde a esse nella metrica di B. Per veder ciò moviamoci 

 su quella retta di I^ , definita da li'i = "2 = "2 = 0. Essa ci 

 rappresenta una geodetica di R ; due punti infinitamente vicini 

 di essa, rappresentano due punti intìnitamente vicini di li , la 

 cui distanza, essendo per ipotesi rt^=^ u\^h\; »,2 = ?(° = 0, è 

 data per la (1) da 



dr '"'' 



(1 - «f)^ 



Se dunque il raggio euclideo della nostra sfera è p , il rag- 

 gio r sarà 



(3) r 



Troviamo ora il volume non-euclideo della nostra sfera di 

 raggio r. Sia (h V elemento di volume della nostra metrica ; co- 

 me si sa se A ò il discriminante di ds^ , è (^7t = [ A d>(i dui dìi., 

 dìi?2. Ora si trova facilmente che 



16 (1 — «, ufi — u, i4Y' 



quindi 



dìi, dui du, du'i 

 d X ^ ' — - — 



4 (1 — Mj jtf — «, «!;) ' 



Passando alle variabili reali u'i ul , tu u'^ si trova che 



du'i dv'i du^ dìt. 



(4) d X 



(1 - frf 



