AfpUcazioni analitiche dei griqiXii di irroiettività ecc. 7 



Se ora F^ è una funzione p. es. l'azionale di »,, ;?, e regolare 

 nel campo (interno alla (2) ) della loi'o variabilità e perciò infe- 

 riore a una costante determinata in (jnesto campo, e se noi in- 

 dichiamo con Ì\C„) il suo valore nel punto C„ , la serie 



(9) s F (C'j n 



n 



è assolutamente e uniformemente convergente se ^' > ^ perchè 

 la F è finita e la (7) è assolutamente e uniformemente conver- 

 gente. Una tal serie per una trasformazione T^. del gruppo è 

 moltiplicata come io ho già osservato altrove (*) per un fattore 

 dipendente solo da 1\ : il ({uoziente di due tali serie rappresenta 

 perciò una funzione invariante per il gruppo. 



Nella nota citata io avevo dimostrato l'esistenza di tali fun- 

 zioni ; il risultato fondamentale e nuovo è che queste funzioni 

 sono funzioni continue dei parametri definenti il gruppo, appunto 

 come avviene per le funzioni fuchsiane di Poincaré. 



Ma le nostre metriche possono condurre rapidamente a un 

 altro risultato ben più importante , alla generalizzazione cioè 

 delle funzioni zetafuchsiane di Poincaré (**). 



Consideriamo a tal fine un gruppo F iperfuchsiano , il cui 

 poliedro generatore sia tutto a distanza (non euclidea) finita e sia 

 G un gruppo di sostituzioni lineari mnogenee su p varial»ili a 

 lui oloedricamente o meriedricamente isomorfo. Siano //, , //^ ...., 

 Hp p funzioni razionali delle u^ , u^ regolari nel campo interno 

 alla (2) ; noi ne indicheremo con Ht {€,) {t = 1, 2,..., ^>) i va- 

 lori nel punto C, trasformato di C per il movimento T^ . La 

 trasformazione di O cori-ispondente a T, si indichi con S^ . 



Una trasformazione Si applicata a j) quantità qualsiasi \ \,... 

 Xp, le p<n-ta in p loro combinazioni lineari che noi indicheremo 

 con Xj -iS', , K,, /Si , .... , >.p /Si . 



(") In una nota cioè ora in corso di stampa negli < Annali di Matematica ». 

 (**) Acta Mathematica Tomo 5. 



