Applicazioni analitiche dei gruppi di proiettività ecc. 9 



dove Li è come sappiaiuo la distanza geodetica 0, C ; questa di- 

 stanza è in generale minore (o se si vuole è dell' ordine di 

 grandezza) di CgO + OC dove O sia V origine ; basterà i»erciò in- 

 dicando con Vi il raggio vettore non euclideo di 6', dimostrare la 

 convei'genza della 



Ora per la (6) è (indicando con r il raggio vettore di C) 



-'•\6 





E da ciò si deduce tosto che si può scegliere una costante 

 P tale che 



I e^^''-' |< I iP 1 



Basterà perciò dimostrare la convergenza assoluta di S 7^*+P 

 e noi sappiamo già che una tale serie converge assolutamente 

 e in ugual grado se A--l-p>Y) ossia se k è abbastanza grande. 



U esistenza delle nostre funsioni è così dimostrata. 



Noi abbiamo così visto con quanta semplicità le nostre me- 

 triche permettano di estendere a campi tanto piiì vasti le ge- 

 niali concezioni di Poincaré e quanta rapidità esse consentano 

 nelle dimostrazioni. Noi ora vorremo indicare alcune conseguenze 

 del nostro ultimo teorema, che mi sembrano del massimo inte- 

 resse. Come dimostrò Picard (*) in un caso particolare , tra le 

 funzioni di », , u^ invarianti per un gruppo F iperfuchsiano ne 

 esistono due tali che ogni altra funzione invariante per lo stesso 

 gruppo è funzione algebrica di quelle ; diremo z, q due tali fun- 

 zioni ; consideriamo un sistema di j> funzioni ^i ^a--- ?? di "i? "2 



(*) Acta Mathematica tomo 5. 



Atti Acc. Serie 4", VoL. XVII — Mem. IX. 



