10 Guido Fnbini [Memoria IX.] 



tali die eseguendo su »,, >i., un' (i]>erazioue T di V esse subi- 

 scano un' operazione del gruppo corrisiìondente G. Supponiamo 

 per semplicità che sia : 



i> = 1 + 2 + 3+ + '' — -, 



dove A- è un intero positivo. Le l^ .... l^ funzioni di Hj, u.^ si po- 

 tranno considerare come funzioni di ^ , /; . 



È ora ben chiaro che noi potremo determinare delle fun- 

 zioni ^f,.,,„ dove 7- , .v sono due interi positivi o nulli , la cui 

 somma è l-, e dove /, » sono due interi positivi o nulli, la cui 

 somma è un intero positivo o nullo minore di /<■ , tale che si 

 abbia : 



"=' #1? = ,:.'""- w " = '•'' " 



Infatti i)er ogni c()pi)ia di valori per r, s otteniamo ponen- 

 do per / i suoi p valori tante equazioni per le «,,«„ quante so- 

 no le incognite. Se anzi noi fissiamo nelle (12) i valori di >•, -v 

 e facciamo variare / noi otterremo un sistema dì equazioni ?/- 

 neari per le ^«,,,„ che risolute danno le a„t„ sotto forma di (]uo- 

 zienti di due determinanti. Ognuno di essi è formato di p ri- 

 uhe : la ( esima delle (juali contiene termini che sono o la =;, 

 stessa o le sue derivate. Le altre righe si ottengono mutando / 

 successivamente in 1, 2, , p. 



Poiché se noi applichiamo alle u^, u,^ m\ movimento di r, le 

 e,, vj restano inalterate e le ^, subiscono una sostituzione lineare, a 

 coefficienti cfìstanti, questi due determinanti resteranno moltiplica- 

 ti per uno stesso f^ittore ; e jìcrciò le ff,.,^,, restano inalterate; esse 

 sono (juindi funzioni di /r„ k.^ invarianti per T e quindi, per un 

 teorema teste citato, esse saranno funzioni algebriche di ?, v;. 



