Tj€ trasformazioni (2, 2) quadratiche e cubiche di spa::io 



Sia /■ una retta generica di un piano anch' esso generico 

 <p di iS : la curva r corrispondente di r sarà situata sulla qua- 

 drica o'. Ad una retta (|ualunque -v di (|uesta, corrispoiule in xS' 

 una coppia di rette (incidenti) .Vi , v^, delle qnali una sola, -s^ p. es., 

 giace nel piano .p. La curva /■' sarà incontrata da *' in tanti 

 [)unti (| nauti sono quelli comuni ad )■ e ad .s\, cioè la r è secata 

 in un sol punto da ciascuna retta di ■^' . Xe segue che r è an- 

 ch'essa una conica, e dunque in ogni caso possiamo concludere 

 che « ad ima retta di 8 — di S' — covrisponde in 8' — in S — ìiìkì 

 conica. 



« ^1^^ ini piano avhitrario y di S', corrisponde una t/iiadrica 

 '> di S ». 



Per i caratteri tìn ora detti, noi chiameremo (/ifiidrnficii la 

 trasformazione in esame ; trasformazione che indicheremo con la 

 lettera T. 



2. Diremo che due j)unti di A — ^ di <S'' — sono conj/iiniti , 

 quando corrispondono ad uno stesso jìuuto di /S' — di <V — . In 

 ciascuno dei due spazi ogni punto è congiunto a due punti 

 (generalmente distinti). La trasformazione 7' determina dun<jue 

 in ciascuno degli spazi iS e iS', una nuova trasformazione (2, 2) 

 inA'olutoria, che chiameremo trasformazione confiiiinta alla data. 

 È fiicile dimostrare che « le trasformazioni coni/iiintc a T /// 8 

 e in 8' , sono anch' esse quadratiche, e che quindi in qualunque 

 trasformazione (2, 2) quadratica , non esistono elementi fonda- 

 mentali ». 



3. Chiameremo superjìcie limite di 8 — di jS' — , e la indi- 

 cheremo con A. — con i^' — , il luogo dei punti i cui corrispon- 

 denti in /8' — in iS — , sono intìnitamente vicini. 11 luogo di 

 questi sarà chiamato superficie doppia, e sarà indicato con >/ — 

 con ;i — , quale corrispondente di >. — di n' — . 



« Le superficie limiti e le superficie doppie di qualunque tra- 

 sformazione quadratica, sono quadriche ». 



