Sopra una classe di jn-oblemi di meccanica riducibili a quadrature. 



vS li. 



Pel problema del piano, in confronto del moto rettilineo, 

 vale, come osservò il Bertrand, nn teorema analogo. 



E infatti, se il momento della forza 7', di componenti cp, '^, 

 rispetto air origine, è una funzione omogenea di grado nega- 

 tivo — 2 delle coordinate t„ ì^, in guisa che si abbia: 



(9) r,^ -<:?=- ^ /^' (-^^ ' 



ove f è la derivata della funzione _/' delF unico argomento -f- 

 rispetto air argomento stesso, il problema del piano, denotando 

 con e una costante arbitraria, ammetterà 1' integrale primo : 



(10) (/ir- ?V)-' + 2/(-^) = f , 



come può veriticarsi. Ma si verilica altresì che V integrale pri- 

 mo (10), indipendente dal tem])o, del sistema (1) si può trarre 

 appunto dall' integrale primo, indipendente dal tempo, dell' equa- 

 zione : 



colla sostituzione di -f-, < — r/?, al posto di ;, -^ rispettiva- 

 mente. È evidente che tale corrispondenza ha analogia con quella 

 dimostrata nel § I, ciò che costituisce la proprietà a cui alibia- 

 mo alluso in principio di questo pax'agrafo. 



Ciò premesso, supponiamo che le due funzioni -f, i soddis- 

 facciano alla (9), ove /" sia una funzione data delF argomento 

 -^ e /" sia, come si è detto, la derivata di tal funzione rispetto 



