I sistemi (iruppnli e {/enerotori. 



ottengono, con successive trasformazioni, da un gruppo, gruppo 

 origine, mediante un' operazione, base del sistema , e la sua in- 

 versa. Chiamerò parte positiva di un sistema gruppale il com- 

 plesso di gruppi ottenuti con successive trasformazioni con 1' o- 

 perazione X dal gruppo origine , e parte negativa il complesso 

 di gruppi ottenuti dal gruppo origine mediante successive tra- 

 sformazioni con r operazione A'~^. 



5. Dai §§ 3 e 4 risulta chiaramente clie : 



I. Se la base d' un sistema gruppale è transitiva rispetto 

 al gruppo origine del sistema questo ha parte positiva e negativa 

 composta da un numero infinito di gruppi distinti tra loro. 



II. Ogni gruppo di un tal sistema può essere scelto come 

 gruppo origine del sistema e lo divide in due parti positiva l'u- 

 na negativa, l' altra. 



III. Ogni parte dell' anzidetto sistema costituisce un ag- 

 gregato infinito della prima potenza. 



Tale sistema gruppale, date le sue proprietà, lo dirò sistema 

 gruppale rettilineo. 



6. Supponiamo che 1' operazione A' sia transitiva rispetto 

 al gruppo origine (^*"') d' un certo sistema gruppale , e di più 

 che X sia ciclica d' ordine n , allora abbiamo il seguente teore- 

 ma : Il gruppo m esimo, di un sistema gruppale avente per ba- 

 se un' operazione ciclica d' ordine «, coincide con il gruppo {m-n) 

 esimo del medesimo sistema. 



Infatti detta A^™^ un'operazione dell' ;»— esimo gruppo si ha: 



j("i) —— \—m Aia; Y"' 



Se poi .4^.'"-'" è un'operazione dell' (/« — n) esimo gruppo viene: 



j^On-n1 __ ^Y-C'"— ") ^10) ^Y*'"-"' :;= Y"'" Y" ^'"^ Y'" Y~" 



ed essendo A' un' operazione ciclica d' ordine n risulta 



X-" — X" = 1; 



