I sistemi gruxjpali e generatori 



mata dell' operazione infinitesima generante il primo grappo. 

 Da ciò segue immediatamente : 



I. Ogni sistema gruppale avente per gruppo origine un 

 gruppo ad un parametro è tutto composto di gruppi ad un pa- 

 l'ametro. 



II. Lo spazio dei trasformati di un gruppo ad un parame- 

 tro è tutto composto di gruppi ad un parametro. 



14. Condizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema 

 di gi'iippi ad un parametro sia rettilineo è che la sua base sia 

 transitiva rispetto all' operazione infinitesima generante il grup- 

 po origine del sistema. 



Infatti suppongasi che un certo sistema di gruppi ad un 

 parametro di base X e di gruppo origine ((?^*^') sia rettilineo. 

 Allora : 



(«("") =1= («'"-'>), (1) 



qualunque sia il numero ni, oppure 



S — iX-'" AX'") =\= S ^ (X-<"'-" .IX'"-'), (2) 



in cui ^ è r operazione infinitesima generante (6?^°*), per il che 

 basta che sia : 



X-"' AX" =1= A'-*'"-" .lA'"'-'. (3) 



Ciò dimostra essere X transitiva rispetto all' operazione A. 



Reciprocamente se 1' oj)ei'azione X è transitiva rispetto al- 

 l' opei-azione A si ha evidentemente la (3) quindi anche la (2) 

 e la (1) , la quale ci mostra essere il sistema considerato retti- 

 lineo. 



15. In una maniera perfettamente analoga si può dimostra- 

 re che : 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema grup- 

 pale, avente per gruppo origine un gruppo ad un parametro , 



