T).r Pnolbw Fulco [ Memoria XII.] 



qualsiasi , è un insieme generatore diverso del dato se 1' opera- 

 zione trasformante è transitiva rispetto al dato insieme , coinci- 

 dente con il dato se 1' opei-azione trasformante è intransitiva 

 per tale insieme. Ciò posto è facile dimostrare che : 



I. Se l'operazione A' è transitiva rispetto all'insieme ge- 

 neratore [J™'] lo sarà pure A""^ ed A", X~^ lo saranno per 1' in- 

 sieme [J'"^] mentre invece se A" è intransitiva rispetto al dato 

 insieme lo sarà pure A'~\ ed A', A'"^^ lo saranncj per 1' insieme ag- 

 giunto al dato insieme. 



II. Se r operazione A' è transitiva rispetto all' insieme ge- 

 neratore [^4'°'] lo sarà pure rispetto all' insieme generatore [A'^\ 

 primo ti-asformato, con 1' operazione X , dell' insieme [^'°']. 



27. Dalle proprietà anzi enunciate risulta evidente che: 

 Dato un insieme generatore [ J^^°'] , insieme generatore ori- 

 gine, ed un' operazione A' , transitiva rispetto a tale insieme e 

 non ciclica , si possono ottenere mediante successive trasforma- 

 zioni, con A ed A'"^ , di [A"-% infiniti insiemi generatori. 



La totalità di tutti questi iiisiemi la chiamerò sistema geìie- 

 ratore e di più dirò eli' è un sistema generatore refUlineo. Alla 

 operazione A^ darò poi, in tutto quel che segue, il nome di base 

 del sistema. 



28. Se l'operazione X è transitiva rispetto all' insieme ori- 

 gine, ma è ciclica d' ordine n è facile dimostrare che : Con suc- 

 cessive trasformazioni di un insieme origine [ ^■'^' ] per mezzo 

 dell' operazione ciclica X d' ordine n transitiva rispetto ad \_A^'\ 

 e dell' operazione A'~' si ottiene un sistema generatore composto 

 di soli n insiemi generatori distinti giacché 1' m-esimo insieme 

 coincide con Y {m—n) esimo ed è distinto da tutti gli altri. 



\Svi. tale sistema generatore lo chiamerò ciclico di classe n. 



29. Se r operazione A'^ è intransitiva rispetto all' insieme ge- 

 neratore [^'°^] ne viene che [^'°'] è trasformato in se stesso sia 

 da X che da A'""^ ; quindi un sistema generatore che avesse per 

 insieme origine [^'"'1 e per base 1' opei'azione A" sarebbe compo- 

 sto dal solo insieme origine. 



