IL MIRAGGIO 23 



o più brevemente 



3 



1 



(v = 1, 2, 3). 



Le equazioni differenziali della trajettoria luminosa sotto la forma (2) sono in 

 numero di tre, ma è facile vedere che una di esse è conseguenza delle altre due. 



Dalle (2) si ricava infatti , moltiplicandole ordinatamente per la -~ corrispon- 

 dente, e sommando membro a membro, 



3 3 3 3 



Y* ^ du^ Y" _^ d_ / ^2 ^\ _j_ ^ V ( '^"^ V V ^P^^ dM. _ r. 



^Jv ^w< ds Lmi>i às ds \ '" ds I ' 2 / i" V ds ) '' ■<" òu, ds ' 



- JH \ 



1 i 1 



ossia 



3 



dn 

 'ds 



e poi 



vale a dire 



- Z»v -di diy"^" ^j + T ZjA~^) ^t - ^ ' 



V d", d /„idu,\ , n V (duA^dU^, „ 



1 



3 



2 Z^v\ ds ì ds 2 Zjv " ds [ds ) ~ ' 



2 



o, moltiplicando per ^ e riducendo, 



s.i[f'«(^.7ri=iz/-*(^r=«' 



che per la (1) è una identità. 



Delle tre equazioni (2) basta dunque conservarne due sole, e si sceglieranno 

 naturalmente, nei vari casi particolari, quelle che presentano una forma piìi semplice. 



§ 2. Coordinate cartesiane. — Nel caso delle coordinate cartesiane è 



(1) ds^ — dx^ -\- dy'- -{- dz^ , 



e quindi 



U,= \ IL=\ U3=l, 



e le (2) diventano 



dn d_ I dx \ ^ 



òx ds \ ds I ' 



<^-| it-i(»^) = «. 



(') Queste formole sembrano dovute ad Hamilton. Si confronti in proposito Winkelmann, Handbuch 

 (ter Physik, Leipzig, Barth. 1906, VI, pag. 489. 



