28 ANTONIO GAEBASSO 



Eseguendo le derivazioni nei secondi termini risulterà 



&n dn dx . d'x 



~dx~'^ 'ds ' " ~ds' ' 



dm dn dy . d^y 



1^ ~ "di" di "T ** "rf?" ' 



òn dìi dz 1 d'^z 



vale a dire 



|^ = ^^cos(..)+^cos{v,.), 



g = |cos(^,.) + fcos(v,.), 



nelle quali ultime si sono indicate con t la tangente e con v la normale principale 

 alla trajettoria luminosa, e si è chiamato R il raggio di curvatura della traiettoria 



stessa. 



Supponiamo adesso che il raggio appartenga ad una superficie con la normale %, 

 definita dai coseni a, p e t- Moltiplicando le (*) ordinatamente per a, p, t e som- 

 mando verrà 



(4) |«^ = -|cos(v,%). 



Per 



-^ = 

 risulta dunque 



C0S(V, Iti) r. 



e cioè: se una trajettoria luminosa giace per intero sopra una superfìcie, normalmente 

 alla quale l'indice di rifrazione non varia, la trajettoria è rettilinea oppure è un'assin- 

 totica della superficie. 



In particolare la trajettoria può giacere tutta in un piano se l'indice è costante 

 sopra la normale. 



Se si supponesse poi che il raggio costituisse una geodetica della superficie, su 

 la quale giace, verrebbe 



òn « 



"dU "~ 'r ' 



che è in sostanza il teorema di Gkunert ('). 



(') Si veda in proposito il Capitolo secondo, § 2. 



