MÉMOIRE 



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LES FONCTIONS X* DE LEGENDRE. 



Les polynômes, connus sous le nom de fonctions X„, jouissent 

 de propriétés nombreuses, découvertes par Legendre, Laplace, 



Rodrigues, Jacobi, Dirichlet, Je me propose d'en indiquer 



quelques autres , la plupart fort simples, et cependant non encore 

 signalées : au moins, je ne les ai rencontrées dans aucun des 

 ouvrages que j'ai pu consulter, pas même dans le Traité des 

 fonctions sphériques, de M. Heine. 



Pour plus de clarté dans l'exposition, je rappellerai, sans les 

 démontrer, les théorèmes fondamentaux (*). 



I 



RELATIONS ENTRE LES FONCTIONS X„ ET LEURS DÉRIVÉES. 



1. Définition. Soient z et x deux quantités données; la pre- 

 mière, comprise entre et 1 ; la seconde, comprise entre — 1 

 et -f- 1. Si l'on développe, suivant les puissances entières et 

 positives de z, la fonction 



u = (l— Zzx-*-z s )~*, (!) 



O Un extrait, fort abrégé, du présent travail, a paru dans le Compte 

 rendu de la cinquième session de l'Association française, pour V avancement 

 des sciences (Clermont-Ferrand, 1876). 



