(*■) 



le coefficient de z n , dans ce développement, est la fonction X„. 



Ainsi 



u=X -^X 1 z^X 2 z a --i hX K ï« + ... ... . (2) 



2. Théorème I. La fonction u satisfait à l'équation 



„ du du 



dx dz 



3. Théorème II. La fonction u satisfait à l'équation 



». du, , ^ du 



(\ -x*)-—+(x-z)z—=uz (4) 



dx dz 



4. Théorème III. On a, entre X n _ { et X B , la relation 



(1 -x^^^-^nixX^-Xn) (5) 



5. Théorème IV. On a, entre X„_i e£ X„, la relation 



(1-tf 2 )— - = n(X n .,-xX n ) (6) 



dx 



6. Remarques. — I. Si, après avoir changé n — 1 en », dans 

 l'égalité (5), on la combine avec l'égalité (6), on trouve 



(n-f-i)X„ +1 -(2»-f-l)a?X„ + nX B _ 1 =:0; (7) 



relation connue. 

 II. Il en résulte 



X w+i 2n -+- 1 1 



X„ "~ n -f- 1 ^ ~*~ n -*- 1 X n ' 



n X 



n— 1 



X„ + 



puis le développement , en fraction continue, de "J"' (*). 



(*) A cause de X = 1 , X t = #, on 



X-2 __ 3 1 Xô __ 5 1_ 



1 x 2 Xi 



