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III. L'équation (5), aux dérivées partielles, a pour intégrale 

 générale : 



u = jœ — *)r l'* ) . 



\V\-xV 



Il est facile de voir que la fonction (1) est comprise dans cette 

 formule. 



7. Théorème V. Les fondions X M _ l5 X rt salis/ont aux équations 



\ dx dx 



{l _ x) ( d llL^ ( ^\ ==n{Xn _ l -X ll ), .... (8, 



(dX n rfX„_ 1 \ 



(9) 



En effet, si l'on combine, par addition, les égalités (5), (C), et 

 qu'on supprime le facteur 1 -h x, on trouve l'équation (8). De 

 même, Tégalité (9) résulte d'une soustraction. 



8. Bem arque. Si l'on fait 



X n H- X n _, = S„ , X n — X„_ l = T, i , 



les dernières équations deviennent : 



dS„ dT n 



(l_ a .)_Jï + W T n :=0. (\+x)-JL—nS n =0. 

 dx dx 



Par conséquent, les polynômes S n , T n , du n iime degré, satisfont 

 aux équations du second ordre : 



'[ t-*»S] 



dx 



(l+a;)— _^ + ?i 2 S /i = 0, (10) 



dx 



d 



(\-x)-±-—— 



dx 



(*) Ces équations prouvent que : 1° S„ est divisible par x-+- 1 ; 2 U T„ est 

 divisible par x — 1 ; propriétés connues , et d'ailleurs évidentes par les éga- 

 lités (8), (9). 



