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9. Théorème VI. On a, entre trois fonctions consécutives, les 



relations 



2n -+- 1 dX n 



X-j -X» +I ==— -(l-* 2 )-^, (12 



«(«+ 1) dx 



«^_^=i = (2 B+ ,)X„ (13) 



dx dx 



' 1° Dans l'équation (5), changeons n en n -+- \ : elle devient 



dX„ 



(1 - x*) —^ = (n -t- 1 ) (a?X„ - X„+i). 



Éliminant xX n , entre celle-ci et l'égalité (C), on trouve la rela- 

 tion (12). 



2° Si l'on change n en n ■+■ 1 , dans l'égalité (8). et que l'on 

 retranche, on ohtient 



(l-a ? );(^-^ I )=i2» + l)X Jl -[(îi + 1)X i H4 + iiX.^]. 



D'après la relation (7), le second membre équivaut à 



(2n-t-l)X„ — (2ra-*-l)#X n ; 

 donc 



C/X„ + 1 f/X W -i 



f/o? dx 



10. Corollaires. — I. Le polynôme X„ +i — X„_! e,s£ divisible 

 par x 2 — i . 



11. Si /'o?i /ait X„ = ^ : 1° tous les coefficients du polynôme 



P B+ , - 4P„_, 



som( divisibles par 2n -+- 1 ; 2° ftH/s /es coefficients du polynôme 

 —■ sont divisibles par n(n ^" 1) ; 5° tows /es coefficients du poly- 

 nôme 



dPn+l ,eZP„_., 



dx dx 



sont divisibles par 2(2n -t- 1). 



= (2n-*-*)X„. 



