(7) 



On verra, plus loin, que les coefficients de P„ sont entiers 

 Cela posé, après le changement indiqué, l'égalité (12) devient 



(P. + i - 4P„-i ) ■ * = (2n + 1 ) (* 2 - 1 ) — ; 



et l'égalité (15) : 



£ïH_ 4 £î±=2(2» + 1)P„. 



d.z d# 



Or, les nombres entiers n{n * l) , 2» -f- 1 sont premiers entre 

 eux ; etc. 



11. Théorème VII. La fonction X„ satisfait à l'équation 



_L ^J H _ n(/i ^|) X , i =0 (14) 



dx 



Si, dans l'équation (12), on prend les dérivées des deux 

 membres, et que l'on ait égard à la relation (15), on trouve le 

 résultat énoncé (*). 



12. Théorème VIII. Entre un nombre quelconque de fonctions 



X„, on a les relations : 



(i - l r)~- i = -nX /i -t-(2fi-]jX„_ 1 -(2«-û)X rt - 2 -H--.±5X 1 qr.i,(15) 

 dx 



(!+£) — = »X n -+- (2n - 1 )X M _! -+- (2w - 3)X„_a h h 3X t -*- 1 , (16J 



dx 



-—^ = (2/i _l)X„_,-H(2n-5)X„_ 3 -i-(2/i-9)X n ^ -*-•••(**). (17) 

 da; 



(*) Cette méthode me parait plus simple que celle qui a élé employée par 

 M. Bertrand [Calcul différentiel, p. 558). 



(**) Selon que n est pair ou impair, le dernier terme est Z\ t ou î. 



