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Elle résulte, comme Ton sait, de l'équation (I), combinée avec le 

 théorème de Mac-Laurin. 



Si Ton développe (x 2 — \) n , et qu'on prenne la dérivée n ième , 

 on a 



X n = -2 p=0 (~ i) P C H , p .Cu-î P ,nX»-*P (21) 



19. Remarques. — I. La plus grande valeur de p est - ou ^-. 

 II. Le coefficient de x'\ dans X„, est — C 2fl>n . 



20. Nous allons transformer, en intégrale définie, le produit 



_ 1.2.Ô...W 1.2. 3... (2/i— 2p) 



C„, P . Cu -*„ » - j23 _ pxli2 .3...(n-p) X 1.2.3 ..n X 1.2.5.. .(n-2p) ' 



A cet effet, observons que le second membre égale 



1.2.3.. .'n l.2.3...2p X 1.2.3. ..(2//— 2p) 



1.2.3. ..2p x 1.2.3. ..(n — 2p) 1.2.3. ..n x 1.2.3... p X 1.2.3... (n — p) 

 C« f2p 1.2.3. ..2p 1.2.3...(2n — 2p) 



2.3.. .n 1.2.5. ..p 1.2.3... {n — p) 



X(p + l)(p-*-2)...2p x (n— p-*-i)(n— p-*-2)...(2/i— 2p). 



1.2.3...n 



D'après une transformation bien connue : 



(p+i)(p+2) ...2p = 2.6.10... (4p-2), 

 (n — p -+- 1 ) (n - p H- 2) . . . (2zi — 2p) = 2 . 6 . 1 ... (4n — 4p — 2) ; 

 donc 



C„ >p .C2n- 2p ,„= f y 2.6.10... (4p - 2) x 2.6.10. . .(4/i - 4p - 2) 



-S:(j)©-('-ï)x(i)(I)- h'-i 



