(13) 



L'intégrale ci-dessus devient 



*"*:/ 



2 cos"w (cos na -h 1/ — 1 sin ncc)dco 

 Oz 2 sin 2 co -+- cos 2 co)»+ 1 



Donc 



x n = 



(2œ) n + l 



/2 cos r 'ucosncodu) 

 1 — (24) 

 (# ? sin 2 co -+- cos 2 co) w +i 



II est assez remarquable que le polynôme entier X„ se présente 

 sous forme fractionnaire. 



23. Quatrième expression de X n . Si, dans la formule de Ro- 

 drigues, on met (x 2 — i) n sous la forme (x ■+■ i)"(x — \) n , on a, 

 par la formule de Leibniz : 



d n {x*— l) n 



dx n 



\: 



v rn~Y , ., |~n(n— 1)T 



)M _^.j ( a7+ l ) n- 1(a; _ 1) _ t .^__iJ 



..nj(a?4-i) n -f- | (07-t-1) w — *(^r— - | .(#-*-! )»-*(#— l) a H h(a?— 1)» 



puis 



!"X„ = 



nn* r„(/i-i)-i2 



+ 1)"-+- - (aj+l)»- 1 ^— 1)-*- (a?-M)"- 2 (aî — l) 2 -f---4-(#-i)". (25) 



Ainsi, comme nous l'avons annonce (10, II), X n a la forme 

 p 

 —-, P„ ayant tous ses coefficients entiers. 



24. Remarque. Pour x= % = cos J , on a ce résultat simple: 

 4nX B = 3»-^ T j3«-*+[--^ i ^j3^--.. zh^Jzpl. . (26) 



25. Cinquième expression de X„. Le second membre de l'éga- 

 lité (25) a pour terme général : 



(-i) p [C„, P Y(l-hx)»-p(l -x)p. 



