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III. On peut vérifier que les seconds membres des éga- 

 lités (52), (35), de formes différentes, sont identiques au fond (*). 



IV. Si, dans les formules (25), (31), on égale les coefficients 

 de x 7 ', on trouve 



KH^Ï— GÏ 



-t-1 



n(n — 11 n(n — \){n — 2)(n — 3) 

 = 2" |H h — — 





Le premier membre égale C 2)l , n (**). Ainsi 



?i(n— 1 n(n — \)(n-"2){7i — 3) 1 



1 H 1 1 = _c , . (.,-4 



2 2 2 2 .4 2 2" 



Par exemple, 



5.4 5.4.3.2 1 10.9.8.7.6 

 1 H 



2 2 .4 2 52 1.2.3.4.5* 



V. Il est visible que 



C — 2" 



1.5.5...(2n— 1) 



2 *" i ~*~~ 1.2.3... n ' 



donc l'identité (54) peut être écrite ainsi : 



n(n — 1) n(ra — l)(n — 2)(n -3) 1 .3.5. . .(2n — 1) , 



1 h 1 1 = . (35) 



2 2 2 2 .4 2 1.2.5... n 



VI. Dans celle-ci, le second membre est réductible à la 

 forme - k , N et k étant des nombres entiers (***) : il en est donc de 

 même pour le premier membre. 



Exemple : 



9.8 9.8.7.6 9.8.7.6.5.4 9.8.7.6 5.4.3.2 _ 10 155 



"■" ~2T "^ "gT 42 H ôT^T 6 1 h ~ 2 2 . 4 9 . 6-. 8* ~ ¥~~ * 



(*) Nouvelle Correspondance mathématique, t. II. p. 286. 



(**) Mélanges mathématiques, p. 158. 



(***) Coî/rs cV Analyse de l'Université de Liège, seconde édition, p. 75. 



