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38. Les polynômes N, jouissent des propriétés suivantes, qu'il 

 suffît d'énoncer : 



i° Np est une fonction homogène, dans laquelle a et 6 entrent 

 symétriquement, et dont le degré est p — \ ; 



2° La somme des coefficients de N,, égale %'~ l r (p) ; 



5° Si l'on suppose a = b = 1 , on a 



4° D'après la théorie des fonctions homogènes, 

 dff. dN 



4-6— ? = (p-l)N p ; (57) 



do etô 



5° Si l'on fait 



a ■+■ b = X , ab = ,u, 



le développement de N^ prend la forme 



a;,/' ' -+- bv - 5 ,u + cxp- V 2 h- • • • 



etc. 



39. Lorsque 6 = 1 , ce qui arrive pour la fonction B ip -i (****)> ^ a 

 formule (5G) n'est plus applicable; mais on peut la remplacer par 

 celle que l'on obtient en éliminant -^ ; savoir 



N p+ , = [a + (2p-l)o]Np + 2a(a-&)-^; 

 et, dans le cas particulier considéré : 



da 



rfN» 



N p+1 = (o + 2|) -1)^ + 20(0-1)-^ (58) 



da 



Eniin, si a = # 2 , la dernière relation devient, à cause de 



m P __ 1 dN P . 

 <ia ~ 2x dx 



N / , +1 = (^ 2 +2p-l)N / ,-t-a?( ; r 2 -l)-^; (59) 



dx 



et la formule (54) : 



B 2/ ,_ 1== _L__^ (60) 



