(52) 



polynômes N doivent jouir de propriétés aussi remarquables, 

 peut-être, que les polynômes X. Nous en avons déjà indiqué 

 quelques-unes. En voici une autre, dont la vérification est facile: 



iN^., = (2p-l) (o^-f-1) i\ p - 4 (p-l^N,,,! . . . .(75) 



47. Remarques. — I. D'après cette égalité, et à cause de 

 N 2 -= x^ -+- 1 (41) : Np se réduit à zéro ou à 2 >,_1 (1.3.5.../) — 2), 

 pour x 2 = — 1 , selon que p est pair om impair (*). 



II. On a trouvé 



N y+ i = 1.3.5...(2p — i)a*4-*-£l.3'.3. .(3p — ô). I .u; 2 /'- 2 1 



(64) 

 p(P— 1 i 



H- 1- ^ 1.3 S...(2p — 5)1.5^ 2 /'-*h M. 5. 5... (2p— 1).] 



Donc, par la première Remarque : 



p p(p— 1) ) 



|.3.S...(2p-l)-?M.3.b...(2p-3)l+î^- ; 1.3.5... (3p— S)l JS / 



\ 



+ 1.5.5... (2p— l) = 2^(i.3.5...p-l) 2 (ppair).} 



III. Si l'on remplace p par 2w, et que l'on ait égard à une trans- 

 formation connue, employée plusieurs fois dans ce Mémoire, on 

 peut écrire ainsi l'identité précédente : 



2n 3w(2n— 1) \ 



1.3.5... (4/1—1) 1.5.5... (4n— 5) 1 h — 1.3.5... {An— 5). 1.3 i 



1- 1.3.5... {An- l) = [(n-M)(tt-4-2)...2»] 2 . ) 



IV. .Si /'ow suppose 



u t — 1.5.5... (An — 1), w 2 = 1.5.5... (4?i — 5).l, u 5 = 1.5... (4n — 5).1.3, 

 , uin+i = 1.5.5... (4n — 1 ) ; 



£a différence (2n) ième , c/e u,, es£ z<« carre. 



(*) Ces conclusions résultent, aussi, de la formule (65). 



