( 38 ) 



Par conséquent , 



I i x 



, los - — dx=(— \) n ~ l - 



(ii + i) 



/ -i- J 1 -+- a? 2 



/ x « lo s -^— (to = c- « y~ l — — n ' 



ou, plus simplement, 



+ i 



/ X„log(l^aî)^==(-l)«- 1 — -^—-n (147) 



Cette formule me parait d'autant plus remarquable, que, pour 

 la vérifier (sur des cas particuliers), j'ai dû recourir à des déve- 

 loppements en séries. 



î>0. Autre intégrale définie. On a (147) : 



(h-H) / X n+1 \og(l-*-x)dx = {—l) n - -, 



n I X„_i log ( 1 -*- x)dx = (-!)»- 

 «Ai ii 



2 



^7 



t, par conséquent 



r +i r -, 2(2»-t-l) 



/ [(n-t-l)X B+1 -i-nX,-.i]log(l-4ra?)(to=(--l) ,> . 



Mais : 



(»n-l)X M+ i-4-«X»_i = (2n-f-l)a?X n ; (7) 



donc 



/ a?X n log(l-*-a?)da? = (— 1)" . . . (148) 



*>i. .Suite. Dans la formule (147), supposons rc==l, u = "2, 

 ^==3, ..., et ajoutons les résultats obtenus. La somme des seconds 

 membres est 



ri _ 1 1 1 1 1 \_ _!_ "|_ 



(*) Si l'on néglige un l'acteur constant , 



/" i ~ , * n lQg%.dx = / + ' X rt X p d.r = 0. 



£ log 2. 



