Par conséquent : 



1° La série X, -+- X 2 -4- X 3 ■+- •• • est convergente (*) ; 



2° j (X 1 -hX 2 -4-X 5 H-...)log(l-Ha?)f?a7« — 2-i-4Iog2. . . (149) 

 Dr même, par la formule (148), 



A 2 5 [j-* 2.5 5.6 J 



Le second membre étant écrit ainsi : 



2f. lllll'llll "1 



3 L 4 2 5 3 6 4 7 5 8 J' 



on voit qu'il a pour limite f log2 — f . Donc. 



f (X 2 -f-X 3 -i-X 4 -4--..)a;log(l-4-a;)da; = ^log2--- . . (ISO) 



?IS. Remarques. — I. La série 



/ u x dx -t- / u. 2 'lx -+- J u.dx h 



peut, comme l'on sait, être convergente, sans que 



u, -+- u a ■+- u. 



le soit. Il est donc essentiel de prouver, directement, la conver- 



gence de la série 



A cet effet, reprenons la formule de Jacobi : 



X„ = — / (cosseH-l/— -1 sinacoswrd». 



7T U. 



*) Excepté, bien entendu, pour x = dt=. 1. 



