§. 2. Allgemeine Beweguugsgleichung gedämpfter Magnete. 287 



oder, wenn den Constauten A und B ihr Werth ertheüt wird, in 

 X = ^ . e-'' I cos [ot) + — sin (p^ j (IX) 



Diese Gleichungen zeigen eine Schwingungsbewegung des Magnetes an, 

 bei der die Amplitude der Schwingungen in einer geometrischen Reihe 

 abnimmt, die l)ekanute Bewegungsart gedämpfter Magnete. Der Magnet 

 geht dui'ch den Nullpunkt jedesmal dass 



tg {ot) = - ^, 



und erreicht seine grösste Elougation jedesmal dass 

 sin [Qt) = 0. 

 Bestimmt man eine Winkelgrösse ^ durch die Gleichung 



t8-(o4>) = - ^, 



so wii'd Gleichung (IX) 



.r = l.e~" [j sin { Q {t - 4>)]J. (X) 



[811] Der von der eckigen Klammer umfasste Factor in dieser Gleichung 

 entspricht dem periodischen Factor in (IX), verschwindet für tg (p^) = 



— -^ und wird = 1 für sin (ot) = 0. 



Abgesehen von der von uns vorgenommenen Constantenbestimmung, 

 ist Gleichung (X) einerlei mit (II), oder von der Form, in welcher Gauss 

 das Integral der Fundamentalgleichung unter der stillschweigenden Vor- 

 aussetzung hingestellt hat, dass e < n sei; während er der allgemeinen 

 und ursprünghchen Form des Integrals, nämlich der Gleichung (VI), aus 

 der (II) erst durch eine allerdings geläufige Umformung hervorgeht, erst 

 später bei Erwägung der Mögüchkeit, dass e > n werde, gedenkt. Was 

 Gauss bewog, die umgeformte Gleichung (II) voranzustellen, ist sichtlich 

 der Umstand, dass in dieser Gestalt die Gleichung sich an die (III) an- 

 schüesst, welche die Bewegung des Magnetes ohne Dämpfung darstellt. 

 Setzt man in der Fundamentalgleichung £ = 0, wodurch der die 

 Dämpfung ausdrückende Term verschwindet, so erhält man als allge- 

 meines vollständiges Integral den von Gauss gegebenen Ausdruck (DI), 

 und unter denselben Annahmen ül3er Anfangslage und Anfangs- 

 geschwmdigkeit, die wir für den Fall der Dämpfung gemacht halben, 

 und für p = 0, 



TT 



^ = -»'' ^--2«' 



X = 



r= i 



[l nt^ = l.cos {nt), (XI) 



