288 XII. Ueber aperiodische Bewegung gedäini)fter Magnete. — Abh. I. — 



WO rr in üblicher Bedeutung geuonmieu ist. Die Vergleichung der Aus- 

 drücke (II) und (in), oder (X) und (XI), lässt den Einfluss der Dämpfung 

 auf die Schwingungsbewegung klar übersehen, der sich theils in dem 

 Auftreten des die Amphtuden vermindeniden Factors e-'^, theils in dem 

 langsameren Wachsen des Argumentes der periodischen Function aus- 

 spricht, wodurch eine gTössere Schwingungsdauer angezeigt wird. Da es 

 Gauss zunächst auf diesen Vergleich ankam, der Fall e > n ihm da- 

 gegen nur als theoretisches Curiosum vorschwebte, durfte es ihm gleich- 

 gültig sein, dass bei seiner Darstellung [812] der unmittelbare Einblick 

 in den TJebergang der periodischen zur aperiodischen Bewegung, der bei 

 e = 71 stattfindet, verloren gmg. 



§. ni. Aperiodische Bewegung gedämpfter Magnete. 



In dem Falle s > n, wo also r reell ist, gilt Grleichung (YII), wifr 

 sie dasteht. Die Bewegung ist nicht mehr- periodisch, sondern die Ab- 

 lenkung als Function der Zeit wird dargestellt durch den Unterschied 

 der Ordinaten zweier Exponentialcurven, die sich der Abscissenaxe 

 asymptotisch nähern. Der Werth t = oo ist der einzige mögliche, der 

 X = macht. Fällt also der Magnet von der Ablenkimg |, welche 

 beüebig gross gedacht werden kann, ohne Anfangsgeschmndigkeit herab^ 

 so wird der Nullpunkt nicht überschritten, sondern erst nach unendhcher 

 Zeit erreicht. Die Curve der Ablenkungen bezogen auf die Zeit hel:)t bei 

 ^ = mit der Ordinate | und mit horizontaler Tangente an, und hat 

 zuerst einen gegen die Abscissenaxe concaven Verlauf. Die Cun'e der 

 Geschwindigkeiten 



!^^ = 27 • ""'' ^'~^' - ^'"^ ^^^ 



ist am Ursprünge concav gegen die Abscissenaxe, und erreicht ein nega- 

 tives Maximum für 



t = i log. uat. LiLZ (xni) 



welchem t also ein Wendepunkt der Curve der Ablenkimgen entspricht. 

 Nach genau der doppelten Zeit folgt der Wendepunkt der Curve der 

 Geschwindigkeiten, die sich gleichfalls der Abscissenaxe asymptotisch an- 

 schhesst. Die Ordinaten beider CuiTen sind für gleiche Zeiten | 

 proportional. 



Eine bemerkenswerthe Vereinfachung tritt in vielen Beziehungen ein 

 für den GrenzfaU, dass ?i = g, oder dass r = wird. Das Integral 

 der Differentialgleichung ist alsdann [vergl. oben S. 285 {Y)] 

 X = {A + Bt) e-'% 



