§. 5. Aperitxlische Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit. 295 



c > £| (XXY) 



ist. Noch für c = ^ {s -\- r) im ersten, c = £| im zweiten Falle 

 wird der Nullpunkt erst nach unendlicher Zeit erreicht, und zwar 

 nehmen dabei die Gleichungen (XXII) und (XXIQ) beziehüch die ein- 

 fachen Formen an 



[820] X = ^.e-(' + r)t (XXVI) 



X = |..-'^ (XXYII) 



Ist /• = e, oder gilt Gleichung (XX), so muss c = 2 £| sein, da- 

 mit der Magnet den Nullpunkt erreiche, und > 2 €|, damit er ihn 



überscln-eite. Ist o = 2 e| + d\ so bleibt er bei — ^^ stehen. 



§. YI. Herleitung der Bedingung für die zum Ueberschreiten 

 des Nullpunktes nöthige Anfangsgeschwindigkeit. 



Der Sinn der Bedingimg für die zum Ueberschreiten des Null- 

 punktes nöthige Anfangsgeschwindigkeit in den durch die Gleichungen 

 (XXII) und (XXni) dargestellten Fällen ergiebt sich aus folgender Be- 

 trachtung. Es ist offenbar gleichgültig, ob dem Magnete zu einer Zeit 

 t^ , wo er aus einer Al^lenkung .r^ fallen gelassen wird, eine Geschmndig- 

 keit — c,^ ertheilt werde, oder ob er zur Zeit t^ bei x^ anlangend, die- 



dx 

 selbe Geschwincügkeit — c,, = -y,- durch Fallen aus einer höheren 



Ablenkung |, gleichsam als Fallgeschwindigkeit, erlange. Keine 



Fallgeschwindigkeit -~ , die der Magnet bei x^^ durch Fallen von einem 



beliebig hohen | hätte erlangen können, würde also, wenn sie dem 

 Magnete beim Fallenlassen von x^^ zur Zeit ^^ als Anfangsgeschwindigkeit 



— Cp ertheilt würde, ihn über den Nullpunkt führen. Denn obschon in 



Wii'Michkeit die Anwendung unserer Fonneln der oben S. 286 erwähnten 



Beschränkung unterhegt, gelten sie in der Idee für jeden denkbaren 



dx 

 Werth von |, und wenn also der Magnet die Geschwindigkeit J' = 



— Cp dm'ch FaUen von jenem behebig hohen | erlangt hätte, mirde er 

 sich asymptotisch der Ruhelage nähern. 



Die Rechnung bestätigt diese Schlüsse. Der Einfachheit halber sei 

 die Bewegung nur eben aperiodisch, d. h. e = n, und demgemäss ihre 

 Gleichung [s. oben S. 289 (XIY)] 



.r = I . e-'' (1 + ef), 

 [821] Xq eine Ordinate zu t^. Indem wir den Coordinatenursprung von 



