§. 2. Die fundamentalen Eigenschaften unserer Differentialgleichung. 327 



bedeuten X, X\ T beliebige zusammengehörige Werthe der Functionen 



X, x und der Zeit. Wird aber jener Verlauf als noch nicht bestimmt 



angesehen, so bedeuten X, X', T x^illkürüche Constanten, durch deren 



Einsetzung der A^erlauf bestimmt wird. 



Durch vmahge Differentiation der Gleichungen (3) erhält man, wenn 



d'^x 



-—- = .rC") gesetzt Avird, 



(5) 



a,rW + .rf-'+i) = (— by B'e-^t \ 

 und folghch 



(— 1)- . 2rA-W = _ ftM'e-«^ + b-B'e-^', (6) 



bx(-) + .i-(- + 1) a-A ' ' ^ ' 



oder, wenn man zu den Logarithmen übergehend ^ log ( , 



■ 1 , [A' a.fW + .x-(- + i)\ ^ ^ .„ • 



2r ^'^ [b' • öxi^^ + x^^^^^ l = ^ - -^- (8) 



Hieraus sind folgende Schlüsse zu ziehen: 



I. Wenn die Grössen x und x' für h'gend einen endhchen Werth 

 von t endüche Werthe haben, so sind A und B' endüch. Ist einer der 

 beiden Ausdrücke 



ax 4- x', bx -\- x (9) 



[541] für irgend einen endlichen Werth von t gleich Null, und ist es 

 also auch B' oder A (3), so bleibt der Ausdruck Null für alle endhchen 

 Werthe von t, und es wird demgemäss die Ablenkung x durch eine der 

 beiden Gleichungen 



2r ' 2r 



dargestellt. 



n. Wenn, wie es in der Folge stets geschehen soll, von den er- 

 wähnten besonderen Fällen abgesehen wird, so bleiben die Vorzeichen der 

 Ausdrücke 



ax(-) + .rC' + i), bx(-) + ^■(" + 1), (10) 



wie die Gleichungen (5) zeigen, für alle Zeit constant. Wählt man nun, 

 was offenbar erlaubt ist, das Vorzeichen von x so, dass ax ■+- x und 

 also B' positiv ist, so ist bx -\- x für den ganzen Verlauf der Zeit 

 und also A entweder positiv oder negativ. Demnach sind zwei wesent- 

 hch verschiedene Hauptfälle zu unterscheiden, von denen derjenige stets 

 als der erste bezeichnet werden soll, in welchem A positiv ist, also die 

 Ausdrücke (9) einerlei Zeichens sind, und als der zweite der, in welchem 

 A negativ ist, also jene Ausdrücke verschiedenen Zeichens sind. 



