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Questa eg-uaglianza sussiste qualunque sia il valore di n ; sup- 

 ponendo adunque che esso cresca indefinitamente, avremo, per teo- 

 remi noti sui limiti, 



lim ( L, -j- L, .... ) — lim 1, lim ([^ -, lini 1, lini ii-, -\- 



Ora, esaminando le espressioni trovate per q, q, •••• qn si vede clie, 

 a misura clie ■it cresce, le espressioni stesse convergono tutte verso 

 lo stesso limite 2. Avremo dunque 



lini ( I., f L, .... ) = -i lini i 1, + I2 + •••• > 



e poichò , in una somma di quantità clic convergono verso zero si 

 possono sostituire ad esse altre quantità pure convergenti a zero e 

 tali che il loro rapporto con le pi-ime tenda verso T unità, avremo, 

 sostituendo a ciascuna delle aree I;., L, .... ed 1, 1, .... — 

 le corrispondenti aree niistilinee limitate dall'arco di curva A, Aj 

 e clic contrassegneremo con un apice, 



lim ( L/ + L,' 4- ... ) = 2 lim ( 1/ -f- 1,' + ..,, ì ossia 



arca A, P>, A, E, = 2 area A^ P, A, P, 



Si ha ora dalla fìgui'a e facendo X = A^ P, \^ 1% 



X — (rg-rj f2 = 2X — \\ (f,-!,) da cui ricaveremo la cercata espres- 

 sione del lavoro 



Mm , Mm 



X = L = r, ( 1,, — 1', ) — 1; ( ]•., — r, ) = r, 1" — r., i; — k k 



li . - - I . Il _ - y y 



Consideriamo il caso più generale che il passaggio dalla posi- 

 zione iniziale A^ alla posizione finale A.^ si effettui secondo una tra- 

 iettoria qualunque, e che A^ non essendo più sul prolungamento di 

 MA, come nella Fig. 1, si trovi tuttavia alla stessa distanza ì\ di 

 prima. In tal caso, per ottenere il lavoro cercato, bisognerà, secondo 

 principi noti, dividere la traiettoria curvilinea A, Aj in un grandissimo 

 numero di parti, tanto da potere far considerare come costante la 

 forza attrattiva /" durante l' intervallo e proiettare ciascuno degli spo- 

 stamenti sulle direzioni della forza stessa nei diversi punti della tra- 

 iettoria; poi portare sulla retta OR ( fig. 2 ) le proiezioni h, hj ... hn 

 cosi ottenute ed elevare dagli estremi i valori della forza attrattiva 

 corrispondente. La quistione è ridotta quindi a trovare l'area A, A, P, Pj 

 identica a quella già trovata e si lia quindi , anche in questo caso, 



' ~ ^ l'i ^~ 



Si Ila dunque questo importante risultato : 



