2 Ignaz Heger. 



andere Werthe von x und y entsprechen. Um sich diese beschränkte Anzahl von Werthen 

 |. yj zu verschaffen, hat man mit der Auflösung des Systemes (/?) in ganzen Zahlen nach den 

 vier Unbekannten |, ^, i,j zu beginnen und findet so drei specielle Auflösungen: erstens: die 

 unmittelbar ersichtliche: i ^o,j = o-. zweitens: die i^=n. j ^o, wo /i den numerisch klein- 

 sten ganzen, von Null verschiedenen Werth von i bedeutet, dessen diese Unbekannte fähig ist, 

 wennj = o gesetzt wird, und drittens: diej = y, wo y den numerisch kleinsten ganzen, von 

 Null verschiedenen Werth bezeichnet, dessen ^ überhaupt fähig ist. Ertheilt man nun der Reihe 

 nach der Grösse i die Werthe: 0, 1, 2, 3, . . . /i — 1, der anderen J hingegen die: 0, 1, 2, 3. ... . 

 V — 1, und zwar in allen hier möglichen jiv Combinationen, sucht nun aus den Gleichungen (y9), 

 die sich dadurch in bestimmte verwandeln, die Werthe von 6 und ;y, und substituirt endlich 

 die gefundenen c, fj in die Gleichungen {y) ; so ergeben sieh alle von einander verschiedenen 

 Werthe für x und ?/, welche das vorliegende System («) erfüllen. Mehr als diese /iv Auflösun- 

 gen bestehen nicht. 



Diese Methode, ein System von zwei binomischen Gleichungen aufzulösen, lässt sich auch 

 dann noch anwenden, wenn die Anzahl der Gleichungen und mit ihr jene der Unbekannten 

 grösser ausfällt, nur liegt dann statt der zwei Gleichungen [ß) ein System von mehreren unbe- 

 stimmten Gleichungen mit der doppelten Anzahl von Unbekannten zur Auflösung in ganzen 

 Zahlen vor. 



Eine andere Anwendung, die sieh von der Auflösung eines Systemes von mehreren unbe- 

 stimmten Gleichungen des ersten Grades machen lässt, findet sich bei der Darstellung viel- 

 gliedriger Ausdrücke in symbolischer Form mit Hülfe des Summenzeichens, das man dem 

 allgemeinen Gliede vorsetzt. Eine solche symbolische Darstellung von Polynomen erweist sich 

 sehr oft als vortheilhaft. Ein Beispiel dieser Art und von der einfachsten Form ist die bekannte 

 Polynomialformel : 



{a 4- a.x + a.,x- -\- -|- a^x'Y = S\ a^a.'^'a.r-. . .a;''.x'" + -'"+ ■■ + "''']. 



\ ' ' - / La/ «j/ «2' . . . «r/ ' J 



Hier bezieht sich die Summirung auf die Buchstaben o., //,, a.,. ...«,. und ist auf alle jene 

 ganzen und positiven Werthe dieser Grössen auszudehnen, welche die Gleichung: 



;?. = «-(- «1 -j- «o -|- .... -|- «^ 



erfüllen. Im gegenwärtigen Falle liegt nur eine einzige unbestimmte Gleichung vor, und sie 

 wäre auf alle möglichen Weisen , in ganzen und positiven Zahlen aufzulösen , wenn man das 

 symbolisch ausgedrückte Polynom entwickeln wollte. 



So wie hier eine einzige, können in anderen Fällen zwei und mehrere Bedingungs- 

 gleichungen auftreten, um die Ausdehnung der Summe festzustellen. So z. B. ist in eben 

 dieser Polynomialformel der Coefficient von x-'" gegeben durch : 



8\ «"«,"'0./=. . .a/'-l 



La/ «,.' a^,/ . . . Ur.' " J 



und die Summirung ist hier auf alle jene ganzen und positiven Werthe von o., «,, o..,,. . . «^ 

 auszudehnen, welche die zwei folgenden Bedingungsgleichungen gleichzeitig erfüllen: 



n = « -f «1 + a, -j-a., +. . . + o., 

 m = '/, 4- 2 «. -j- 3 «3 -|- . . . 4- ra^. 



