über die Auflösung e/'ues Si/s(emes von mehrereu nubentivirnten Gleichungen etc. 3 



Almliclio Formeln mit einer, zweien und mehreren ßedingungsgleidningen lassen 

 sieh in Unzahl aulV.ählen; man begegnet iluien in den verseliicdenstcn Bereichen der 

 Analysis. 



Die Anwendungen des in Rede stehenden Problemes sind demnach sehr zahlreich , und 

 das Gesagte dürfte zur Genüge beweisen, dass gerade dieses Problem der unbestimmten Ana- 

 lytik eine nicht unbedeutende Wichtigkeit besitze, und jedenfalls viel öfter in Anwendung 

 komme, als die unbestimmten Probleme höheren Grades. 



Es ist gewiss überraschend, dass gerade dieser Theil der Analytik bisher wenig gepflegt 

 wurde, und keine allgemeine und zweckentsprechende Auflösungsmethode für solche Systeme 

 von Gleichungen besteht. 



Die allgemeine Auflösung einer einzelnen, unbestimmten Gleichung des ersten Grades in 

 ganzen Zahlen ist schon lange bekannt. Die hiezu dienliche Methode wurde zuerst von Euler 

 angegeben; später gab Lagrange eine andere Ableitungsweise für diese Eegel, und zeigte den 

 Zusammenhang dieses Problemes mit der Theorie der Kettenbrüche; zuletzt endlich wurde 

 eben derselbe Gegenstand noch von Cauchy auf eine gänzlich verschiedene Art behandelt, 

 die zunächst in theoretischer Hinsieht von Wichtigkeit ist. Hiemit war gewissermassen die 

 Grundoperation für die unbestimmten Probleme des ersten Grades festgestellt. 



Die Behandlung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen des ersten Gra- 

 des mit einer beliebig grossen Anzahl von Unbekannten war aber, einige specielle Fälle aus- 

 genommen, nicht ei'ledigt; sondern bestand mehr oder weniger nur in blossem Probiren, aber 

 in keinem geregelten analytischen Verfahren. Der Weg, den man dabei einschlug, war stets 

 den bekannten Auflösungsmethoden für bestimmte Gleichungen des ersten Grades nachgebildet. 

 Nun eignet sieh von all' diesen verschiedenen Behandlungsweisen eines Systemes von 

 mehreren bestimmten Gleichungen des ersten Grades nur das Substitutionsverfahren für die 

 Auflösung eines Systemes von unbestimmten Gleichungen. Dieses allein hatte einen Anspruch 

 auf den Rang einer analytischen Methode. Alle übrigen für bestimmte Systeme bestehenden 

 Auflösungsmethoden sind bei unbestimmten nicht anwendbar. 



Wenn aber schon bei den Systemen bestimmter Gleichungen die Substitutionsmethode 

 nicht allen Anforderungen Genüge leistet, und andere Methoden von grösserer Durchsichtig- 

 keit als ein Bedürfniss erscheinen; so stellt sich diese Mangelhaftigkeit bei unbestimmten Glei- 

 chungen in einem noch weit höheren Grade dar. Sehr oft nämlich handelt es sich gar nicht 

 um die wirkliche numerische Berechnung, sondern um die Aufstellung eines allgemeinen Ge- 

 setzes. Ein Beispiel dieser Art ist der von Gramm er gegebene Lehrsatz für die Auflösung 

 eines Systemes von mehreren bestimmten Gleichungen des ersten Gi'ades, überhaupt die so 

 fruchtbringende Lehre von der Determinante. Dieser Satz hat für die numerische Berechnung 

 nur eine sehr untergeordnete Rolle, kommt aber in den verschiedensten Gebieten der Analysis 

 in Anwendung und ist von unbestreitbarer Wichtigkeit. Ein ähnliches Bedürfniss stellt sich auch 

 bei den unbestimmten Problemen des ersten Grades heraus, und von diesem Gesichtspunkte 

 aus ist das in Rede stehende Problem bis jetzt als ungelöst zu betrachten. 



Gauss hat in seinem berühmten Werke: Disquisitiones arithmeticae pag. 26 — 30 

 ein ähnliches Problem behandelt, nämlich die Auflösung eines Systemes von mehreren Congru- 

 enzen des ersten Grades mit einer gleich grossen Anzahl von Unbekannten und einem gemein- 

 schaftlichen Modulus. Es gibt allerdings Fälle, in welchen ein System von unbestimmten 

 Gleichungen sich darauf zurückführen lässt; allein dies ist keineswegs allgemein der Fall. Die 



