4 Ignaz Heger. 



daselbst ausgesprochene Behauptung: „Simili modo^ ut in aequationibus , perspicitur, etiam hie 

 totidem congruentias liaheri dehere, quot sint incognitae determinandae^^ wird nicht erwiesen und 

 ist in der That unrichtig. Es besteht im Gegentheile gar kein nothwendiger Zusammenhang 

 zwischen der Anzahl der Unbekannten und jener der Congruenzen, ohne dass dadurch das 

 Problem unmöglich würde. Eine einzige Congruenz kann genügen, um eine grosse Anzahl 

 von Unbekannten zu bestimmen, und eine einzige Unbekannte kann mehrere verschiedene 

 Congruenzen gleichzeitig erfüllen. Widersprüche, denen man dabei gelegentlich begegnet und 

 die das Problem uumöglich machen, können sowohl bei einer einzigen Congruenz, wie bei 

 mehreren solchen vorkommen, gleichviel, wie gross die Anzahl der darin erscheinenden Unbe- 

 kannten sein mag; sie hängen von ganz anderen Umständen ab. 



Trotzdem, dass die erwähnte Behauptung sich als nicht stichhältig erweist, ist dennoch der 

 von Gauss betretene Weg an das Bestehen der Gleichheit in der Anzahl der Congruenzen und 

 der Unbekannten, als einer unerlässliehen Bedingung gebunden, und es dürfte sehr schwer 

 halten, sein Verfahren für jene anderen FäUe anzupassen, wo diese beiden Anzahlen ungleich 

 sind, weil es der bekannten Behandlungsweise eines Systemes bestimmter Gleichungen des 

 ersten Grades vollkommen nachgebildet ist. 



Die in der vorliegenden Abhandlung niedergelegte Methode ist ganz allgemein. Sie eignet 

 sich eben so gut für die einfachen, wie für die complicirtesten Fälle. Denjenigen 

 Leser, welcher über die Hauptergebnisse dieser Abhandlung einen Überblick gewinnen will, 

 ohne sie ganz zu durchlesen, verweisen wir auf §. 17. Sie stehen mit der Lehre der 

 Determinante in einem innigen Zusammenhange. Die gewonnenen Sätze gewähren die grösste 

 Durchsichtigkeit und erth eilen zugleich der numerischen Berechnung die grösstmögliche 

 Einfachheit. 



§• 1. 



Wenn eine Gleichung des ersten Grades, oder ein System von mehreren solchen vorliegt, 

 welche eine grössere Anzahl von Unbekannten in sich schliessen, als sie zu bestimmen im 

 Stande sind, und nun unter der Unzahl von Auflösungen, die ihnen entsprechen, jene hervor- 

 gehoben werden sollen, bei welchen alle Unbekannten ganze Zahlwerthe besitzen; so zerfällt 

 diese Aufgabe in folgende drei Probleme: 



Erstens: Es soll angegeben werden , ob der vorgelegten Gleichung oder dem gegebe- 

 nen Systeme durch ganze Werthe sämmtlicher Unbekannten Genüge geleistet werden könne. 

 Diese Frage, deren Beantwortung nur in Ja oder Nein bestehen kann, lässt sich noch in 

 einer allgemeineren Form, auf folgende Weise stellen: Es soll der kleinste mögliche Nenner 

 angegeben werden, der einer Gruppe von zusammengehörigen Werthen sämmtlicher Unbe- 

 kannten eigen ist, wenn man sie in Bruchform auf einerlei Benennung bringt. Die Beantwor- 

 tuno- dieser verallgemeinerten Frage besteht immer in der Angabe einer bestimmten ganzen 

 Zahl. Ist dieselbe zufällig Eins, so bestehen ganze Auflösungen, sonst aber nicht. 



Zweitens: Man soll von den bestehenden Auflösungen in ganzen Zahlen eine ein- 

 zige und specielle angeben, z. B. jene, bei der gewisse Unbekannte die numerisch kleinsten 

 Werthe besitzen. 



Drittens: Es sollen alle bestehenden Auflösungen in ganzen Zahlen durch eine Formel 



dargestellt werden. 



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