über die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 5 



Über die allgemeine Form der Auflösung eines Systemes unbestimmter G 1 c i cli u n g e n 



in ganzen Zahlen. 



§■ 2- 



Ein System von n Gleichungen des ersten Grades mit einer überwiegenden Anzahl w?-]-^* 

 von Unbekannten lässt sich im Allgemeinen auf unendlich viele verschiedene Weisen erfüllen. 

 Dies findet nicht nur dann Statt, wenn die Werthe der Unbekannten keiner weiteren Bedin- 

 gung unterliegen, als der, das vorgelegte System von Gleichungen zu erfüllen; sondern auch 

 wenn nur durch ganze Zahlwerthe der Unbekannten dem Systeme Genüge geleistet werden soll. 



In beiden Fällen lassen sich all' diese unendlich vielen Auflösungen des Systemes zusam- 

 menfassen in eine Formel, in der m unabhängigen Grössen erscheinen. Nimmt man keine Rück- 

 sicht darauf, ob die Genüge leistenden Werthe der Unbekannten ganze oder gebrochene 

 Zahlen sind; so können m Unbekannte, die meist nach Willkür erwählt werden dürfen, die 

 Rolle der unabhängigen Veränderlichen übernehmen, und die übrigen n Unbekannten sind 

 dann vollkommen bestimmte lineare Functionen derselben. Hat man aber nur jene Auflösungen 

 im Auge, bei welchen sämmtliche Unbekannte ganze Zahlwerthe besitzen, falls dies überhaupt 

 im Bereiche der Möglichkeit liegt, so kann im Allgemeinen keine der Unbekannten die Rolle 

 einer unabhängigen Grösse übernehmen; sie sind im Gegentheile alle bestimmt, als lineare 

 Functionen von m Grundgrössen, deren Wahl willkürlich bleibt, insofern man sie auf ganze 

 Zahlen beschränkt. Ertheilt man nun einer jeden dieser m Grundgrössen nach der Reihe alle 

 ganzen Zahlwerthe und zwar sowohl die positiven, so wie die negativen ; so liefern die bespro- 

 chenen linearen Ausdrücke der Reihe nach und gruppenweise die Werthe der Unbekannten in 

 ganzen Zahlen, welche das System von Gleichungen erfüllen. Diese allgemeine Form der 

 Auflösungen in ganzen Zahlen bildet den Gegenstand der folgenden Untersuchungen. 



Wir betrachten das System: 



ll^l + 12^2 + Is^S + •••• + 1», -^'m + lm+l^m+1 +•■■• + Im+a'-^m+n ^=^ '' 

 ^l"*^! "T -^2 -^2 + ^3 ^3 T" • • • ■ + -^m^m "T -m+1 ^'m+1 +•••■+ "m+n'^m + n =^ 



(1) Siar, + S^x, -f 83X3 + + 3„.x-„, -\- i,„+,x„,^, + + 3„,+„:r,„+„ — 



n,x^ -\- «2X3 + WgX-ä + -t- n„,x„, -I- »,„+iX,„+i + + «,„+„A',„+„ — <» 



mit den Unbekannten cCj , Xo , . . . . a;,„_^„. Die Symbole 1, , l, , I3 , . . . . »,„+„ bedeuten 

 die Coefficienten, die als bestimmte ganze Zahlen vorausgesetzt werden. 



Es ist unmittelbar einleuchtend, dass dieses System durch ganze Werthe der Unbekannten 

 erfüllt werden könne. Die Werthe: 



leisten Genüge. Es scheint, als ob durch das gleich Null Setzen der zweiten Theile dieser Glei- 

 chungen die Allgemeinheit der Untersuchungen beeinträchtigt würde ; allein man überzeugt 

 sich leicht vom Gegentheile. Das gleich Null Setzen der zweiten Theile gewährt den Vortheil, 

 dass man von der Voruntersuchung, ob ganze Auflösungen wirklich bestehen, oder nicht, 

 enthoben ist. Dem ersten Anscheine nach allgemeiner wäre die Betrachtung des Systemes von 

 n Gleichungen des ersten Grades mit m-\-n Unbekannten: 



