6 Ignaz Heger. 



(2) Oi^Cj -|- OjX., -|- Og^Jg -|- 042;^ -j- . . . -|- C),„iC„, -\- O^ l^^'m+l T • • • H~ ^,„+K^ni4.>, = ^Ic 



?l,X, + ??22-3 + ?«3-'^3 + ■"4a^4 + ■ • • + «»a^» + «™+ia^„, + l + • • • + «,„+„*■„,+,,=?*<. 



von dem es aber in Zweifel steht, ob es durch ganze Werthe sämmtlieher Unbekannten erfüllt 

 werden könne oder nicht. Nicht so aber verhält es sich bei dem früher erwähnten Systeme: 



ll^^l -f" l2*'2 "]~ •'-a'^'a "I -'-•l'^'l ~r • • • "r ^m^m . ^M+l-^m+l + • • • "T ^m+n^'m+„^ ^i^* 



(3) OjCCi + o.,.T.j-j— 03CC3 -[- 04X4 -p . . . -|- o„, a'„-f- o„_|_i a;,„_|_i -j- . . . -j- -j ,„.)_„ 2?,„+„ ^=: "J^-^'t 



/ijCC] -|- n.2X.2 -\- n^Xo^ -f- ^i^x^ + ...-)- ;^„,.t,„ -|- w„,_|_i a;,„,^j -|- . . . -|- 'n,n^n-^m-\->i^^ '^a-^'* 



denn dieses ist stets durch ganze Werthe der Unbekannten x^, ccg, x^, ^„,+„, x^ erfüllbar. 



Findet sich nun unter all' den verschiedenen ganzen Werthen von Xj. auch zufällig der specielle 

 Werth Eins vor, so wird auch das System (2) in ganzen Werthen aufgelöst werden können, im 

 entgegengesetzten Falle aber ist dies eine Unmöglichkeit. Ja noch mehr, ist überhaupt N der 

 numerisch kleinste , von Null verschiedene Werth, den x^ bei der Auflösung des Systemes (3) 

 in ganzen Zahlen erhalten kann , so ist eben diese Zahl N der kleinste mögliche Nenner der 

 gebrochenen Werthe, durch welche dem Systeme (2) Genüge geleistet werden kann. In der 

 That, substituirt man in dem Systeme (2) anstatt der Unbekannten: 



andere : 



(^) 



was mit anderen Worten so viel heisst, als die Auflösungen desselben in Brüchen mit dem 

 Nenner ^suchen; so geht nach dem Wegschaffen des Nenners A^gei'adezu das System (3) her- 

 vor, mit dem Unterschiede, dass it'i, x-.j, X3, x^ x^, a;„+i, . . . x^_^^ durch die andere Bezeich- 

 nung ^1 , jCa , ;C3 , ;£.! , . . . ;L',„ , ;L',„_,., .... ^,„+„, die Unbekannte er,, aber durch den bestimmten Werth 

 N ersetzt kommt. Die Auflösung des Systemes (3) steht daher mit jener des anderen (2) im 

 innigsten Zusammenhange. Der numerisch kleinste und von Null verschiedene Werth von x,. 

 entscheidet über die Möglichkeit oder Unmöglichkeit, das System (2) in ganzen Zahlen aufzu- 

 lösen, je nachdem derselbe gleich Eins, oder davon verschieden ist, und lehrt überhaupt den 

 kleinsten gemeinschaftlichen Nenner der in Bruchform gesuchten Auflösungen kennen. Die 

 ganzen Zahl werthe der übrigen Unbekannten Xi, x.,, x«.... x;„^„ aber, welche dem speciellen 

 Werthe x,=^\ entsprechen, sind zugleich die ganzen Werthe der dem Systeme (2) Genüge 

 leistenden gleichnamigen Unbekannten , jene dem kleinsten von Null und Eins verschiedenen 

 Werthe x, ^ N zugehörigen aber sind die Zähler der dann nur in Bruchform (4) bestehenden 

 Werthe der" gleichnamigen Unbekannten in (2). 



Hiedurch ist zur Genüge dargethan, dass mit der Auflösung des Systemes (1) trotz des 

 speciellen Falles: 



