über die Auflösung eines Systemes iion mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 7 



1, = 2, = 3, = .... = », = () 



dor vollständigeu Allgemeinheit der Untersuchung keinerlei Eintrag geschieht. Wir wollen 

 nun die allgemeine Form der Auflösungen in ganzen Zahlen ermitteln, d. h. einen Ausdruck. 

 der in sich alle ganzen Auflösungen, keine einzige ausgenommen, enthält, seiner allgemeinen 

 Gestalt nach bestimmen. 



Schon früher wurde bemerkt, dass 



iCj X'j Ifj : .... '■Vm-\-n - 



eine Auflösung in ganzen Zahlen des Systemes (1) sei. Wir werden nun noch die übrigen zu 

 ermitteln haben, bei welchen einige oder alle Unbekannte von Null verschiedene ganze Werthe 

 erhalten. Dass solche wirklich bestehen, lässt sich erweisen, wie alsogleich geschehen soll. Um 

 aber den Beweis in der einfachsten Weise führen zu können, ohne uns in die Discussion ver- 

 schiedener Ausnahmen einlassen zu müssen, die die Führung des Beweises keineswegs unmög- 

 lich machen, sondern nur seine Gestalt verändern; wollen wir von den Voraussetzungen aus- 

 gehen: erstens, dass das System (1) wirklich aus n von einander verschiedenen Gleichungen 

 bestehe, d. h. dass keine derselben aus den übrigen durch Multiplication mit gewissen Zahlen 

 und Addition hervorgehen könne, und zweitens, dass die n Unbekannten: 



•^m+i 5 •'^»1+2 ) . • • • -^m+n 



durch dieselben bestimmt werden können, wenn man die übrigen entweder mit beliebigen Zahl- 

 werthen belegt, oder als unabhängige Veränderliche betrachtet. Es ist hinreichend bekannt, dass 

 diese zwei gemachten Voraussetzungen nicht nothwendig immer erfüllt sind, und solche Aus- 

 nahmsfälle gar nicht zu den Seltenheiten gehören, wo unter den n Gleichungen eines gege- 

 benen Systemes, zwei oder mehrere von den übrigen nicht wesentlich verschieden sind; ferner, 

 dass gewisse, der darin enthaltenen Unbekannten, in keinerlei Weise die Eolle der abhängigen 

 Veränderlichen zu übernehmen im Stande sind; andererseits ist es aber auch einleuchtend, dass 

 man bei der hier vorausgesetzten Form der Gleichungen (1) diesen beiden Bedingungen, durch 

 Weglassen der von den übrigen nicht verschiedenen Gleichungen und durch ein entsprechen- 

 des Ordnen der Unbekannten, stets Genüge leisten könne. Bei der allgemeineren Form (2) 

 könnte dies ganz allgemein nicht behauptet werden, weil hier ein Widersprechen der Gleichun- 

 gen im Bereiche der Möglichkeit liegt; und solchergestalt gewahren wir einen neuen Vorzug 

 der hier getroffenen Wahl, in Bezug auf die Form der Gleichungen (1). 



Nach diesen Voraussetzungen lässt sich der Beweis, dass auch von Null verschiedene 

 ganze Auflösungen des Systemes bestehen, ohne Schwierigkeit führen, so wie die allgemeine 

 Form der vollständigen Auflösung in ganzen Zahlen ableiten. 



Man denke sich das System (1) auf bekannte Weise nach x,„^,, »;,„+.,, ••••««+„ aufgelöst, 

 indem man die überschüssigen Grössen a-, , x, , x„, als unabhängige Veränderliche betrach- 

 tet. Die Werthe dieser Unbekannten lassen sieh nach dem, was über Systeme linearer Glei- 

 chungen bekannt ist, darstellen in Bruchform. Der gemeinschaftliche Nenner aller dieser 

 Brüche ist eine bestimmte Zahl, die Zähler aber sind Polynome, welche die überschüssigen 

 Grössen x,, x.,, ... x,„ enthalten in linearer Form, aber kein constantes Glied besitzen. Also im 

 Allgemeinen sind es Brüche von der Form: 



