8 Ignaz Heger. 



ilfj, il£, -Mj, il/,„ und ^sind bestimmte ganze Zahlen. Den früher gemachten Voraus- 

 setzungen zufolge ist ^jedenfalls von Null verschieden, da ein Verschwinden dieser Grösse 

 nur in jenen zwei Ausnahmsfällen vorkommen kann, wo entweder nicht alle m Gleichungen 



von einander verschieden sind, oder doch wenigstens die w Grössen a:;,„^.i, a?„,+2, a:,„^„ nicht 



durch dieselben bestimmt werden. Hier unterliegt es nun keinem Zweifel mehr, dass man die 

 Grössen a-j, x.^, «3 , . . . x^^ von Null verschieden, ganz und dermassen wählen könne, dass die 



Werthe aller dieser Brüche, oder was dasselbe ist, jene von x,„j^^ , x^,^^, x,„_^„ ganz ausfallen. 



In der That erfolgt dies sonder Zweifel, wenn man für x^, x^-, ajg , . . . a;,„ ganze Zahlen setzt, 

 welche durch A^theilbar sind, und somit ist also erwiesen, dass das System (1) wirklich auch 

 durch von Null verschiedene ganze Zahlwerthe sämmtlicher Grössen cCj, »2, a^a , . . . a?^+„, und 

 zwar auf unendlich viele verschiedene Weisen erfüllt werden könne. Wir wollen jetzt durch 

 eine allgemeine Formel alle diese unendlich vielen verschiedenen Auflösungen darzustellen 

 versuchen. 



Es lässt sich zeigen, dass alle Werthe einer Unbekannten, welche den unendlich vielen 

 ganzen Auflösungen entsprechen, die Glieder einer arithmetischen Reihe bilden. Bezeichnen 

 wir mit x den numerisch kleinsten und von Null verschiedenen Werth von CC], der unter allen 

 möglichen ganzen Auflösungen des vorliegenden Systemes vorkommt. Dass ein solcher wirk- 

 lich existirt, kann wohl nicht mehr bezweifelt werden, nachdem gerade früher erwiesen wurde, 

 dass von Null verschiedene Werthe der Unbekannten, also auch von a^j, den Gleichungen genü- 

 gen. Die diesem kleinsten Werthe x-^ entsprechenden ganzen Werthe der Unbekannten, oder, 

 Falls deren wieder mehrere verschiedene bestehen, eine specielle Zusammenstellung solcher, 

 gleichgiltig, ob sie gleich Null, oder davon verschieden sind, seien: iCg , a^g , a;^ , . . . . 

 a;,„ I „. Es ist nun eine unmittelbare Folge , dass auch dann die Producte dieser bestimmten 

 Werthe mit einer völlig willkürlichen ganzen Zahl ^,, d. h. 



111 I 



X] C] , x'2 Ci 1 a?3 Ci ..... aj„,^„ CT] 



den Gleichungen genügen werden. In der That unterscheiden sich die durch Substitution dieser 

 Werthe hervorgehenden Substitutionsresultate von jenen der früheren Werthe nur in dem hin- 

 zuo-etretenen Factor ?i und sind demnach gleichfalls Null, d. h. diese Werthe erfüllen die 

 Gleichungen (1). Es bestehen demnach unzählig viele Werthe von x,,., die alle durch die 



Formel : 



1 



(■5) a?i = a;iCi 



vorgestellt werden, unter ^1 eine völlig willkürliche Zahl verstanden. Allein ausser diesen 

 Werthen sind auch keine andern mehr möglich. Gesetzt nämlich, es bestünde noch ein 

 anderer ganzer Werth von x^ , dem auch ganze Werthe der übrigen Unbekannten x\ , x'j , . . . 

 '■f'm+n entsprechen , der sich nicht in der Form (5) darstellen lässt , mit andern Worten , der 

 durch £Ci nicht theilbar ist; so könnte x', nicht der kleinste mögliche von Null verschiedene 

 ganze Werth sein, dessen x, fällig ist. In der That sei x, dieser Werth, so liegt derselbe 

 offenbar zwischen zwei zunächst an einander liegenden Werthen der Formel (5) z. B, 



1 — — 1 — 



a;,e<Xi<x, (?+ 1) 



und es ist offenbar: 



— 1 — I 

 U <a34 — x-,?<x, 





