Über die AufllmuHj eiiie.i Si/atemc^s roi/ mchrcroi int/n\s/ii)niife7i Gleichungen etc. i) 



abor g'K'ii'lizeitig .r, — .r, c zufolge der liucarcii l'dnu der ( ■Icicliiingcii ein (uüiiige leisten- 

 der ganzer Wertli , luul folglich wäre uielit .r, , t^ondern x\ — .r,c der kleinste unmerisehe 

 Werth, dessen .r, fähig ist, was der früher gemachten Voi'aussetziing widerspräche. Es folgt 

 hieraus, dass keine ganze Auflösung des Systemes (1) bestehen kiinne, in der a:, einen Werth 

 besitzt, der durch die Formel ['■>] nicht darstellbar wäre. 



Noch eine wichtio-e Folgerung wollen wir hier ziehen. Es enthalten nämlich die Zahlen: 



III 1 



Xy , .T.j , a'3 , . . . . .^■,„_(_„ 



keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich, denn wäre ein solcher vorhanden, so 

 würden für f , statt ganzer Zahlen, auch Brüche mit eben diesem Factor im Nenner gesetzt 

 wei-d(Mi können, ohne dass 



III I 



-t'i C| 7 ^"2^1 1 ^'.i ?! , • • • • •^',„-|.„Sl 



aufhören, ganze Werthe zu sein und die Gleichungen zu erfüllen, a?, aber würde kleinere 



1 

 Werthe, als a*, annehmen können, Avas zu dem schon früher erwähnten Widerspruch führen 



würde, und demnach unstatthaft ist. 



Wenn auch hier bewiesen wurde, dass x^ in keiner andern Form, als in der (5) voi'kommen 

 könne, so gilt dies doch keineswegs von den übrigen Unbekannten in Bezug auf die für die- 

 selben hier gefundenen Werthe: 



< * ' .. ■ 



X.2<^\ , X^i;^ , . . . . .r„,_(_„ C| 



Es lässt sich im Gegentheile zeigen, dass ausser diesen unendlich vielen Auflösungen 

 noch andere bestehen. In der That setzen wir in den Gleichungen (1) 



(\3j X^ == X, C| 1 X.2^=X.j^l;i -\- X 2 1 ^3 ^''^3^1 T -^ 3 5 • • • • ^m+n—- ■^»i+u^l I ■^' »i+i( 



unter x!^ ^ x\ , . . . x'„,^„ unbestimmte Zusätze verstanden, so erhält man neue Gleichungen, 

 welche die neuen Unbekannten .r', , a^'3 , • • • a:^',„+„ hi sich schliessen und ihre W^erthe zu 

 bestimmen haben. Diese Gleichungen unterscheiden sich von den (1), und lassen sich unmit- 

 telbar daraus ableiten, wenn man: 



X^ U , X.^ X^2 ) "^'3 «^3 , ■ • • • Xj^^j^^, X ,^,_|_„ 



setzt. Sie sind folgende : 



%x'2 + %x',+ ... + %„,x'„, + 2,„^.,a;',„+, + . . . + 2„.+„a'',„+„ = (> 

 (7) O2X2 + 33X3 + . . . + 3,,„a',„ -f 3„,+,x-',„+, + . . . + 3,„+„x-',„+„ = 



/ZoX'o + n.;,x\-ir ... -I- n„,x'„ -h »,„+,a;'„,+, -f . . • -|- «,„+„<„+„ = <» 



Sie stellen gleichfalls ein System von unbestimmten Gleichungen dar, wenn überhaupt 

 /M einen von Eins verschiedenen Werth besitzt, aber mit m — 1 überschüssigen Grössen, und 

 verstatten gleichfalls unendlich viele verschiedene von Null diflferirende Auflösungen , Avie 

 früher allgemein bewiesen worden. Wendet man hier die eben früher angewendeten Schluss- 

 folgerungen an, so gelangt man zur Überzeugung, dass kein einziger Werth von x\_ bestehen 

 könne, der nicht durch die Formel: 



Denkschriften der m.irhpiii.-naturw. CI. \IV. Ed. AblianclJ. v. Nichtmitgl. *' 



