10 . Ignaz Heger. 



{ O ) ^2 ~~ -^2 ^"2 



2 



gegeben wäre, unter a:, eine bestimmte ganze Zahl verstanden, die den kleinsten von Null 

 verschiedenen Werth angibt, dessen x-i fähig ist, um eine Auflösung des Systemes in ganzen 

 Zahlen zu ermöglichen, und wo ^2 eine völlig willkürliche Zahl bedeutet. Die Werthe der 

 übrigen Unbekannten sind, wohl nicht alle, aber doch einige, gegeben durch die Formel : 



2 2 2 



(yj X ^^^^Xr^q.;, , X ^^^Xj^<;.2 , . . . . 3J „,_|_„ ^= iC,„_j.„ 1^2 



2 2 2 



wo Xg , a?4 , ... a;,„^.„ ganze Zahlen vorstellen, die irgend einer speciellen Auflösung des 



2 



Systemes (7) entsprechen, wenn xj =x., gesetzt wird. Substituirt man diese Werthe (8) , (9) 

 in die Gleichungen (6), so erhält man : 



I 12 12^ 12 



(iUj Xf ^=: a'j C| 5 X^^^ Xi,qi -f" •'^2^2 5 -*'3^'^3^1 I *^'3 ^2 • • • ■ • •^m + n •^m+uCl I *^»i + h V) 



und es ist nunmehr keinem Zweifel unterworfen, dass die beiden ersten dieser Gleichungen 



(10) alle möglichen ganzen Werthe von er, und x., liefern, welche in den ganzen Auflösungen 



des Systemes (1) erscheinen können. Von den übrigen Werthen (10) gilt dies jedoch nicht 



mehr, im Gegentheile bedürfen dieselben alle noch einer Completirung, ausser wenn zufällig 



m=2 ist. Diese Vervollständigung der Werthe (10) lässt sich auf dieselbe Weise vollführen, 



wie jene der früheren Werthe so eben bewerkstelligt wurde. Sie führt zunächst zu folgenden 



drei completen Werthen: 



1 



•^1 — *^ 1 ^1 



1 2 



n 1^ ^2 = »'2?i + ^i^i 



\ ^ 12 3 



CTg = X3 Ci -\- Xg C2 + ^3 ^3 

 3 



und hier bedeutet fg eine willkürliche ganze Zahl, x^ aber den kleinsten möglichen, von 

 Null verschiedenen Werth von a^g, welcher für aTj = , £»,= im Systeme (1) ganze Auflö- 

 sungen ermöglicht. 



Dieses Verfahren der Completirung der gewonnenen Werthe ist so lange fortzusetzen, 

 bis auch der Werth der letzten überschüssigen Unbekannten x-,„ vervollständigt worden. 

 Ist aber dies geschehen, so sind dann auch die Werthe der übi-igen Unbekannten x^^^ , 

 x„^2 , ■ ■ • ■ ^,„+n vollständig, da sie durch die vorliegenden 71 Gleichungen vollkommen 

 bestimmt werden, sobald man über die überschüssigen Grössen x^ , x., , ■ ■ • ■ x„, verfügt hat. 



Man gelangt so zu den folgenden Werthen: 



1 



Xj Xj ^j 



1 



X.) ■ Xii ^j ~j~ Xo s 2 



3 

 3 "^3 



12 3 



Xg ^= Xg C'j -j- Xg ^o + ^3 S; 



12 3 m 



12' X,n =^^,Jl + X,.S, + a?„.e3 + + ^.nl,. 



) 2 3 . m 



'^■ni+l ^^ ■^ni + i f 1 T" ^m+l '?2 T~ ^m + \ ^3 "V ! *^m+l ^m 



' » -'s. ^ '" f 



Diese Form schliesst in sich m willkürliche ganze Grössen ^, , Cj . fg , . • • $„„ so viele 

 nämlich, als überschüssige Unbekannte in den Gleichungen (1) erscheinen, und diesem 



