

12 Ignaz Heger. 



Die hier aufgestellte Form der allgerueinen Auflösung unbestimmter Gleichungen des ersten 

 Grades ist keineswegs die einzige mögliclie, denn es lassen sich auch andere, namentlich voll- 

 kommen symmetrische Formen für dieselben finden, die sogar mehr als m willkürliche ganze 

 Grössen in sich schliessen , und gleichfalls alle möglichen ganzen Auflösungen zu liefern im 

 Stande sind, allein man ist dann genöthigt, die Werthe einiger der willkürlichen Grössen 

 innerhalb bestimmter Grenzen einzuschliessen, wenn man nicht Gefahr laufen will , eine und 

 dieselbe Auflösung zu widerholten Malen daraus zu erhalten. 



Die hier aufgestellte Form, die nicht symmetrisch ist, besitzt aber den Vortheil, dass sie 

 alle Auflösungen liefert und keine einzige wiederholt, und dies ist der Grund, warum wir ihr 

 vor allen übrigen den Vorzug unbedingt einräumen, wenn es sich um wirkliche Auflösung des 

 Svstemes handelt. Die symmetrischen Formen hingegen eignen sich sehr gut, um vermittelst 

 der Substitutionsmethode die Auflösungen eines Svstemes von Gleichungen zu bewerkstelligen 

 und die für dieselben geltenden Eegeln abzuleiten. Wir fanden es aber zweckmässiger, von 

 einer andern Methode Gebraucli zu machen. 



Die unmittelbare Betrachtung dieser allgemeinen Form der Auflösung des Systemes (1) 

 in ganzen Zahlen verstattet nun unmittelbar, auch die allgemeine Form der Auflösungen des 

 anderen Systemes (2) abzuleiten, welches im zweiten Theile der Gleichungen statt der Nulle, 

 andere Zahlen: 1^ , 2^. , 3i. , . . . . aufweiset. Denkt man sich nämlich zuvörderst die allge- 

 meine Form der Auflösungen für das System (3) gebildet, welches noch eine weitere Unbe- 

 kannte x,. enthält, der wir den ersten Eang einräumen wollen , so gelangt man zur folgenden 

 Formel : 







s- 



X/. ^= Xj. ^,1 



^ 1 ^ 



12^ 



12 3 



a*3 =»"3 Co +3^3 ^1 + a;3?2 + a^sCa 



(13) ; . . . 



k 



12 3 m 



^»l+l -— •^m+1 Co 1 -^«i + l ?'l . -^m+l Co ~r •^»i+l C3 + -p ^,„+lC,„ 



11 1 2 3 m 



x,„-(-„ ^= •'^,„-(-». Co n "^ )«+)! Ci -r •^»j+ji C2 ~r •^m+n C3 ~r + -^m+n C,» 



Sie ist mit TO -f 1 willkürlichen ganzen Grössen versehen und liefert alle möglichen ganzen 

 Auflösungen des Systemes (2). Gesetzt nun, es wäre zufällig: 





 Xf. = 1 



also x^ = 1 ein möglicher Werth , der auch den übrigen Unbekannten Xi , x., , .... x,„^„ 

 verstattet, ganz zu sein, so wird auch das System (2) in ganzen Zahlen aufgelöst werden 

 können. Die vollständige Formel für die ganzen Auflösungen desselben geht aus den (13) 



hervor für x,^^l , also für f^ = 1. Sie ist folgende: 



1 



Xj — x^ -f- X^ Ci 



