1-i Ignaz Heger. 



immer eine einzige Beantwortung zu: Ja oder Nein; allein man kann auf sehr verschiedenen 

 Wegen zu diesem Endresultate gelangen. Die Beantwortung dieser Frage kann nämlich nicht 

 unmittelbar, durch blosses Ansehen der Gleichungen erfolgen, sondern erfordert immer eine 

 Rechnung. Dieses Kechnungsverfahren kann jedoch auf sehr viele verschiedene Weisen einge- 

 leitet werden, und alle diese verschiedenen Welsen führen zu demselben Endresultate; aber 

 nicht alle sind von gleichem Werthe in Bezug auf Einfachheit und Übersicht. Ich bin durch 

 eine sorgsame Prüfung all' der verschiedenen möglichen Methoden zu einer bestimmten Regel 

 gelangt, welche vor allen übrigen einen unbestreitbaren Vorzug der Einfachheit und Allge- 

 meinheit besitzt. 



Die Regel lautet folgendermassen : Man bilde aus den Coefficienten der beiden 

 gegebenen Gleichungen:^ 



die (j r ci 8 s e n , welche unserer B e z e i c h u u n g s w e i s e e n t s p r e c h e n d , d u r c h : 



(1^) («ie2) , [biei] , (Cje,,) (f?,e,) 



(Shg-d : (^.5'2) • {c,g.^ ..... [d,g.;) , (e.g.;) 



angedeutet werden, d. h. die Determinanten: [ciib.^ = a.b., — a.fi, , (a.c^)=aiC, — a.,c, , 

 (^i<^ä) = ^iC2 — boC. u. s. w. und suche nun ihren grössten gemeinschaftliehen 

 Theiler. Ist derselbe gleich Eins, so sind ganze Auflösungen des gegebenen 

 Systemes wirklich vorhanden, und zwar für alle beliebigen ganzen Werthe 

 von ki und k,. Ist hingegen dieser gr össte gemeinschaftlich e Theiler eine von 

 Eins verschiedene Zahl, so bestehen im Allgemeinen keine ganzen Auflö- 

 sungen und können nur ausnahmsweise, d. h. nur für specielle Werthe von 

 kl undL, erscheinen. Bevor wir jedoch zum Beweise dieses Lehrsatzes schreiten können, 

 müssen wir noch früher einige Hilfssätze vorausschicken und erweisen , welche denselben 

 vorbereiten. 



§•4. 



1. Wenn die dem Systeme (16) en tsprech e nden D ete r m inan ten (17) keinen 

 von Eins vers chied e neu Factor gemein seh aftli ch besitzen, so ist der gr össte 

 gemeinschaftliche Divisor von 9, und g., von jenem der mit 7 verkni'ipften 

 Grössen: 



(1^) (^<(J) ■ (bg) , (cg) (dg) . (eg) 



nicht vers chieden. 



Bezeichnen wir mit {^^ den j^rössten gen)einschaftlichen Theiler der mit g verknüpften 

 Grössen (18), hingegen mit c, jenen der von g freien: 



