IG Ignaz Hege?-. 



<P, [« (l^i 92) — b (Ol 9-2 ) ] + 9, 9 ( 'ii ^"2) = <-» 



*p9 [« (Ci 92) — c (a, g;)] + ^,5r (a, c, 1 = 



(24 1 4',^, [h (c, 93) — c (b, B,)] + cp,^,g (b, c) = 



■ <P-j [d (e> 92) — e (bi 9-i)] + f. <7 (b> £2) = 

 Jede dieser Gleichungen repräsentirt im Grunde zwei Gleichungen, indem man den ohne 

 Stellenzeiger versehenen Coeffifienten: a,ft,c,....f/,e,^ soAvohl den Index 1 als 

 den andern 2 beifügen kann. Multiplicirt man diese Gleichungen beziehungsweise mit Ö, . 

 0., , 0. und addirt sie alsdann; so erhält man eine neue Gleichung von der Form: 



(25 ) ^'„ A + <p,, .g [ia, b,) 6, 4- (0, c) e, + {{\ C,) ^3 + + (öl C2) Ö.] = <» 



in welcher A ein mehrgliedriger Ausdruck ist, dessen Gestalt uns aber nicht weiter interessirt. 

 Wählt man nun die bisher unbestimmt gelassenen Multiplicatoren f)j ^ ß., , 0^ , . . . . ä„ der- 

 massen, dass sie sämmtlich ganze Werthe erhalten und zugleich die Eelation: 



(26) (a, b,) 0, + ( a, c,) 0, + (b. c,) e,+ + (b, c,) ä„ = 1 



erfüllen, was immer möglich ist, indem die Grössen (21) keinen von Eins verschiedenen Factor 

 gemeinschaftlich besitzen und demnach diese unbestimmte Gleichung in ganzen Zahlen auf- 

 löslich ist; so geht die Gleichung (25) über in: 



(27) ^.,A + ^^''.= <» 

 und A bedeutet nunmehr, wie leicht einzusehen, eine ganze Zahl. Diese Gleichung zeigt 

 unmittelbar, dass ^^ . g durch ^^ theilbar sein, und da ^^ und 4>,j relative Primzahlen sind, 

 dass geradezu g den Factor ^^ in sieh schliessen müsse. Dies gilt sowohl für ^j , wie inv g.,, 

 und man kann durch die neuen Bezeichnungen: 



diesen Factor ersichtlich maclien. 



Dieser Factor ist aber zugleich der grösste gemeinschaftliche Theiler von g^ und 

 g.> d. h. i], und 130 sind relative Primzahlen. Dies kann auf folgende Weise eingesehen 

 werden: Jeder in g^ und g., gemeinschaftlich ercheinende Factor muss nothwendig auch in 

 allen mit (jT verknüpften Grössen (18) vorkommen, weil sie Binome sind, deren erstes Glied 

 den Factor ^.,, das zweite g^ besitzt. Würde nun ausser 4)^ noch ein anderer Factor gleichzeitig 

 in g^ und in g., erscheinen, so müsste auch in den Grössen (18) ausser ^^ noch dieser andere 

 Factor vorhanden sein. Aber es wäre dann nicht jA^, sondern ein Vielfaches von ^^ der grösste 

 gemeinschaftliche Divisor dieser Grössen, was den gemachten Bestimmungen widerspräche. 

 Es kann somit ausser ^^^ kein anderer Factor gleichzeitig in g^ und g.^ erscheinen und ^^ ist ihr 

 grösster gemeinschaftlicher Divisor d. h. fl, . i:|o sind relative Primzahlen. Demnach ist der 

 obige Satz erwiesen. 



§. 5. ■ 



2 . H i 1 f s s a t z. Leitet man aus den ursprünglich gegebenen zwei Gleichun- 

 gen (10) zwei neue, ihnen gleichgeltende: 



(29) rt/ X -\- b; y -h <■; s -f . , . . . -j- r/,' 2( -f e/ w -^ g; iv = k; 



