18 Ignaz Heger. 



(33) ciy = a^ki + a.,h , h^' --^b^A^ -\- b.,L , c/ = c-j >^j -)- Co 4 k^ = Icyk^ -|- k.,k, 



«.,' = Oj/ij -{- a.2iu , bj = bji^ + b.^/jL., , cV = Ci/ij -\- c^jio, , ^■2' ^= /w/x, -f A'o/i. 



eine Reihe von Gleichungen, die im Grunde nur die Ableitungsweise der neuen Gleichungen 

 (57) und (58) feststellen. Aus ihnen folgt nun unmittelbar: 



also : 



(34) {<h;) = {a,h.;){K,j..;) 



und auf dieselbe Weise findet man für die übrio-en Grössen: 



(«/ Co') = («1 Co) {ki /io) , (6/ Co') z= (61 Co) (>^, /io) 



(35) {a;g.;) = {a,g.^{k,n.^ ., {b; g.:) ={b,g.;){k,n.^ {< g-i) = {ßig-^iKlJ-^) 



{k;a.^):^{k,a,){k,iu) , (h'b.^) = ik,b.;){kji,) (h:g.^) = (k,g.;)(k,/x,). 



Aus diesen Gleichungen ersieht man, dass die Grössen (31) des neuen Systemes den 

 Grössen (32) des ursprünglich gegebenen proportional sind, womit der obige Satz erwiesen 

 ist, und zwar lassen sie sich durch Multiplication mit (kifi.,) =Xi/io — -/lo/ii aus ihnen ableiten. 

 Dies ist der aus der Theorie der Determinanten bekannte Satz von der Multiplication der 

 Determinanten. 



§• tJ- 



3. Hilfssatz. Wenn bei einem Systeme von zwei Gleichungen die Deter- 

 minanten (17) einen grössten gemeinschaftlichen Divisor ^ besitzen und 

 derselbe auch in den Determinanten 



(36) {k,a,) . (Ä-,6o) , (^■,Co) (k,d.^ , (k,e.^ . [k,g.;) 



als Factor erscheint, so lässt sich ein anderes System von zwei Gleichungen 

 (29) und (30) ableiten, das demselben vollkommen äquivalent ist, und bei 

 welchem die Determinanten: 



(«,;&,') 



(ß/cj') , {b;c.;) 



(37) «d') . {b;d:) . (c/d') 



(«/<) , {b;e:) . (c/a/) (d:e^) 



K^/) , ib;g:) , {c;g:) {d;g:) , {e;g:) 



keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen, ohne 

 dass die Coefficienten G!',6'.....e',(/'.Ä;'aufhören, ganze Zahlen zu sein. 



Die neuen Gleichungen werden abgeleitet durch Multiplication der ursprünglichen Glei- 

 chungen mit schicklich gewählten Multiplicatoren und Addition , Avie dies im vorhergehenden 

 Lehrsatze umständlicher besprochen wurde. Dies ist nämlich die einzig mögliche Weise, -'aus 



