über die Atißömng eines Systemes von mehreren Hübest immten Glciclniugen etc. 19 



einem Systeme vou /.wci Gleieliungeii ein anderes vollkommen glcichgeltendes abzuleiten und 

 es ist demnach unmittelbar einleuclitend, dass nur durch eine geeignete Wald der Multipli- 

 catoren /^ , L . /t, . /i, der gewünselite Z^veck erreicht werden könne, falls derselbe überhaupt 

 im Bereiche der Möglichkeit liegt. Im vorhergehenden Lehrsatze wurde erwiesen , dass die 

 Determinanten des neuen Systemes jenen des ursprünglich gegebenen proportional seien und 

 namentlich durch Multiplication derselben mit (>^i/i.) hervorgehen. Hieraus folgt nun wieder, 

 dass für ganze Zahlwerthe der Multiplicatoren },i , X, , /i^ , /i , . wo dann auch (,^j fi.^ eine ganze 

 Zahl bedeutet, die Grössen ausser dem Factor jj noch den anderen {Xji.^ , also im Ganzen 

 den Factor ^ (X^ /x,) gemeinschaftlieh besitzen werden. Der gewünschte Zweck wird daher 

 durch ganze Zahlwerthe der Multiplicatoren X^ , X., , /x^ , /x, niemals erreicht, sondern nur 

 durch gebrochene und namentlich mit dem Nenner ^ versehene solche, die so zu wählen sind, 

 dass 



(38) f(^/A.) = l also a/i,)=7 



ausfällt. Gelingt es, die Multiplicatoren .^i , X., , /ij , /x, dermassen zu wählen, ohne dass die 

 Coeflficienten : a^ , 6,' , c/ , . . . f?/ , e/ , (// , k^' , aj , 6.,' , c.,' , . . . clj , ej , gj , LJ aufhören, 

 ganze Zahlen zu sein, so ist der gewünschte Zweck erreicht, denn man hat dann: 



(39) («, 6,)=^_ , (a^c,) = — ^ , {b^c,)=^^ ,.. 



Es erübrigt nur noch, die Möglichkeit einer solchen Wahl darzuthun. 

 Wir wollen hier die vollkommen analytische Behandlung dieses Problemes geben, weil 

 sie für die späteren Probleme wichtige Aufschlüsse ertheilt. 

 Die Bedingungen sind: 



(iO) 



(ii) 6, A, + b,x, = b; (12) 6,/ii + b,ii, = b: 



Diese Gleichungen sollen erfüllt werden durch ganze Zahlwerthe von «/ , i/ , c/ , . . . 

 '(! , 60' , c,,' , . . . und geeignete (ganze oder gebrochene) von X^ , X., , /i, , /io. Die Unbekann- 

 ten zerfallen hier in zwei Gruppen, erstens in solche, deren Werthe die Bedingungen zu erfüllen 

 haben, ganz zu sein, und zweitens in andere, die an eine solche Bedingung nicht gebunden 

 sind. Die Anzahl der Unbekannten übersteigt jene der Gleichxmgen um drei und dies ist 

 demnach voraussichtlich die Anzahl der ganzen willkürlichen Grössen, welche in der voll- 

 ständigen Auflösung erscheinen werden. Eine dieser Gleichungen , nämlich die (40) ist nicht 

 linear und solchergestalt ist das hier vorliegende Problem complicirter als dasjenige, welches 

 zum Gegenstande der vorliegenden Abhandlung gewählt wurde. Nichts desto weniger lässt 

 sich dieses Problem auf dieselbe Weise auflösen, ohne alle Schwierigkeit, weil in der nicht 

 linearen Gleichung (40) nur die vier Unbekannten X^ , X.. , /ij ,7i.j ersclieinen, deren Werthe an 

 die Bedingung, ganz zu sein, nicht gebunden sind. Wir werden hier, wie bei jedem anderen 

 Probleme, wobei einige Unbekannte an die Bedingung, ganz zu sein, gebunden sind, die 



