24 Ignaz Heger. 



Wenn ;-,<?,£, .... völlig willkiirliclie Grössen bedeuten, so ist diese Gleiclning 

 dem Systeme (56) vollkommen äquivalent. Dies ist auch dann noch der Fall, wenn man für 

 diese Multiplicatoren eine Bedingungsgleicliung aufstellt, die aber noch eine fernere Grösse 

 ß in sich schliesst, denn eine solche Gleichung enthält in ihrer Auflösung, gleichgiltig ob sie 

 in ganzen Zahlen geschieht oder nicht, gerade so viele willkürliche Grössen, als im Systeme 

 Gleichungen vorhanden sind. Diese Bedingungsgleichung sei: 



(58) («, b.^ ß -L [a, c.,) ;- -l (a, d.^ d^ {a,e.^s^ . . . = (p<p,. 



Sie verstattet stets ganze Auflösungen. Die aus ihr hervorgehenden ganzen Werthe für 

 ^? , /•- . ö , c . . . . in ihrer allgemeinen Form mit m willkürlichen Constanten, denke man 

 sich in die Gleichung (57) gesetzt, so geht sie über in: 



(59) ■ A,[{b,c.;)r + {h,d.)d-V{b,e.;)e^...]-B,[<p<p^—{a,b.;)ß] + 



und ist noch immer dem Systeme (56) äquivalent. Um den kleinsten Werth von A^ zu finden, 

 der einer ganzen Auflösung dieser Gleichung entspricht, schreibt die bekannte Eegel voi-, den 

 grössten gemeinschaftlichen Divisor der Coefficienten: 



(60) (p4'„~(a,b.;)ß , («,i.,)Y , {a,b.;)d , {a,b.^s .... 



zu dividiren durch den grössten gemeinschaftlichen Divisor aller dieser Grössen und dei- 



(^ic,)r4 {b,d.^d^-{b,e.;)s+ 



Nun zeigt eine leichte Überlegung, dass wenn den grössten gemeinschaftlichen Factor 

 der Grössen ^ , <? , e , . . . . bezeichnet, die Coefficienten (60) höchstens (p(p,j als grössten 

 gemeinschaftlichen Factor aufweisen können. In der That ist der grösste gemeinschaftliehe 

 Factor von: 



{<^A)r ) («i^-..)«? , («1^2)^ , • • • 



gleich («1 62) 0. Sucht man nun den grössten gemeinschaftlichen Factor von : 



(61) <p(p„~{a,b.^ß und (fl,i.)^ 



so erscheint jedenfalls <p(p^ in beiden Grössen als Factor, weil {a^b^ diesen Factor enthält. Die 

 ausser <p^„ noch in {a^b.^ erscheinenden Factoren kommen aber in f<p^ — (aj 63) /9 unmöglich vor, 

 weil nur ein Theil diesen Factor enthält, der andere aber gewiss nicht. Folglich könnte nun 

 höchstens noch ö, im Ganzen also <p^„d in beiden Grössen (61) erscheinen. Fasst man nun 



noch die Grösse : (b^ c.,) y + (ij tZ.,) d -\- ib^e.^s A^ ins Auge , so zeigt sich alsogleich, 



dass in ihr jedenfalls (pü als Factor erscheint; von (f>„ aber kann man weder das Erscheinen 

 noch das Fehlen unmittelbar nachweisen. Es geht hieraus hervor, dass der kleiiiste Werth von 

 Ai keinesfalls kleiner sein könne, als ^^. In der That bestünde ein kleinerer Werth z. B.yli= — 

 so ginge die Gleichung (51) über in: 



oder: 



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